Задания, страница 149 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема правильной:

а) треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

$V = \frac{\sqrt{3}}{12} a^2 h$

б) шестиугольной пирамиды, стороны основания которой равны $a$, а высота равна $h$.

$V = \frac{\sqrt{3}}{2} a^2 h$

Дано:

Правильная пирамида.

$a$ - сторона основания.

$h$ - высота пирамиды.

Найти:

Формулу объема $V$ для:

а) правильной треугольной пирамиды.

б) правильной шестиугольной пирамиды.

Решение:

Общая формула для вычисления объема любой пирамиды:

$V = \frac{1}{3}S_{осн}h$

где $S_{осн}$ — это площадь основания пирамиды, а $h$ — ее высота.Задача сводится к нахождению площади основания ($S_{осн}$) для каждого случая и подстановке ее в общую формулу объема.

а) правильная треугольная пирамида

В основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный (равносторонний) треугольник со стороной $a$.

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле:

$S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим эту площадь в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{a^2h\sqrt{3}}{12}$

Ответ: $V = \frac{a^2h\sqrt{3}}{12}$

б) правильная шестиугольная пирамида

В основании правильной шестиугольной пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a$.

Правильный шестиугольник можно разделить на 6 одинаковых равносторонних треугольников со стороной $a$.

Площадь одного такого треугольника мы уже знаем из пункта а): $S_{\triangle} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь основания (правильного шестиугольника) равна сумме площадей шести таких треугольников:

$S_{осн} = 6 \cdot S_{\triangle} = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$

Теперь подставим полученную площадь основания в формулу объема пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot h = \frac{a^2h\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $V = \frac{a^2h\sqrt{3}}{2}$