Задания, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Выведите формулу объема усеченной правильной четырехугольной пирамиды, стороны оснований которой равны $a$ и $b$, а высота равна $h$.

Дано:

Правильная усеченная четырехугольная пирамида.

Сторона большего основания: $a$

Сторона меньшего основания: $b$

Высота усеченной пирамиды: $h$

Найти:

Формулу объема $V$ усеченной пирамиды.

Решение:

Для вывода формулы объема усеченной пирамиды представим ее как разность объемов двух полных пирамид: большой исходной пирамиды и малой пирамиды, отсеченной от ее вершины плоскостью, параллельной основанию.

Объем полной пирамиды вычисляется по формуле $V_{пир} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H_{пир}$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H_{пир}$ — высота.

Пусть $S_1$ — площадь большего основания усеченной пирамиды, а $S_2$ — площадь меньшего основания. Так как пирамида правильная четырехугольная, ее основания — квадраты. Следовательно:

$S_1 = a^2$

$S_2 = b^2$

Пусть $H$ — высота полной большой пирамиды, а $x$ — высота малой (отсеченной) пирамиды. Тогда высота усеченной пирамиды $h$ равна разности их высот:

$h = H - x$

Объем усеченной пирамиды $V$ равен разности объемов большой и малой пирамид:

$V = V_{большой} - V_{малой} = \frac{1}{3}S_1 H - \frac{1}{3}S_2 x = \frac{1}{3}(a^2 H - b^2 x)$

Малая (отсеченная) пирамида подобна большой исходной пирамиде. Из подобия следует, что отношение их линейных размеров (высот и сторон оснований) равно:

$\frac{x}{H} = \frac{b}{a}$

Из этого соотношения выразим $x$ через $H$:

$x = H \frac{b}{a}$

Теперь подставим это выражение в формулу для высоты усеченной пирамиды $h$:

$h = H - x = H - H\frac{b}{a} = H(1 - \frac{b}{a}) = H \frac{a-b}{a}$

Отсюда выразим высоту большой пирамиды $H$ через известные величины $h, a, b$:

$H = \frac{ha}{a-b}$

А также выразим высоту малой пирамиды $x$:

$x = H - h = \frac{ha}{a-b} - h = h(\frac{a}{a-b} - 1) = h(\frac{a-(a-b)}{a-b}) = \frac{hb}{a-b}$

Теперь подставим найденные выражения для $H$ и $x$ в формулу для объема усеченной пирамиды $V$:

$V = \frac{1}{3}(a^2 H - b^2 x) = \frac{1}{3}(a^2 \cdot \frac{ha}{a-b} - b^2 \cdot \frac{hb}{a-b})$

Вынесем общий множитель $\frac{h}{a-b}$ за скобки:

$V = \frac{1}{3} \frac{h}{a-b} (a^3 - b^3)$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$:

$V = \frac{1}{3} \frac{h}{a-b} (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Сократив множитель $(a-b)$, получаем искомую формулу объема правильной усеченной четырехугольной пирамиды:

$V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$

Ответ:

Формула объема правильной усеченной четырехугольной пирамиды со сторонами оснований $a$ и $b$ и высотой $h$ имеет вид: $V = \frac{1}{3}h(a^2 + ab + b^2)$.