Вопросы, страница 150 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Как вычисляется объем треугольной пирамиды?

2. Как вычисляется объем произвольной пирамиды?

3. Как вычисляется объем усеченной пирамиды?

1. Как вычисляется объем треугольной пирамиды?
Объем треугольной пирамиды (также называемой тетраэдром) определяется как одна треть произведения площади ее основания на высоту. В данном случае основанием является треугольник. Высота пирамиды — это длина перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость ее основания.
Формула для вычисления объема:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$
где:
$V$ — объем пирамиды,
$S_{осн}$ — площадь треугольного основания,
$h$ — высота пирамиды.
Площадь основания $S_{осн}$ вычисляется с использованием соответствующей формулы для площади треугольника (например, через основание и высоту, по формуле Герона или через две стороны и угол между ними).
Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

2. Как вычисляется объем произвольной пирамиды?
Объем произвольной n-угольной пирамиды вычисляется по универсальной формуле, которая справедлива для любой пирамиды, независимо от формы ее основания. Объем равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Основанием такой пирамиды может быть любой многоугольник (квадрат, прямоугольник, пятиугольник и т.д.). Высота пирамиды ($h$) — это перпендикуляр, проведенный из ее вершины к плоскости основания.
Формула для вычисления объема:
$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$
где:
$V$ — объем пирамиды,
$S_{осн}$ — площадь многоугольника в основании,
$h$ — высота пирамиды.
Эта формула является обобщением формулы для треугольной пирамиды.
Ответ: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

3. Как вычисляется объем усеченной пирамиды?
Усеченная пирамида — это часть пирамиды, которая находится между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. У такой фигуры есть два основания (нижнее и верхнее), которые являются подобными многоугольниками, и высота — расстояние между этими основаниями.
Объем усеченной пирамиды вычисляется по следующей специальной формуле:
$V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$
где:
$V$ — объем усеченной пирамиды,
$h$ — высота усеченной пирамиды,
$S_1$ — площадь нижнего (большего) основания,
$S_2$ — площадь верхнего (меньшего) основания.
Член $\sqrt{S_1 S_2}$ представляет собой среднее геометрическое площадей оснований.
Ответ: $V = \frac{1}{3} h (S_1 + \sqrt{S_1 S_2} + S_2)$