Номер 25.24, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.24. Чугунная труба имеет длину 2 м и внешний диаметр 20 см. Толщина стенок трубы равна 2 см (рис. 25.6). Найдите вес трубы,

если удельный вес чугуна примерно равен $7,5 \text{ г}/\text{см}^3$. Ответ дайте в килограммах (Примите $\pi \approx 3$).

2 см

20 см

Рис. 25.6

Дано:

Длина трубы, $l = 2 \text{ м}$

Внешний диаметр, $D = 20 \text{ см}$

Толщина стенок, $t = 2 \text{ см}$

Плотность чугуна, $\rho = 7,5 \text{ г/см}^3$

$\pi \approx 3$

Перевод в систему СИ:

$l = 2 \text{ м}$

$D = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$

$t = 2 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$\rho = 7,5 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 7,5 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 7,5 \cdot \frac{10^{-3}}{10^{-6}} \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 7500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

Вес (массу) трубы $m$ в килограммах.

Решение:

В условии просят найти "вес" и дать ответ в килограммах. Килограмм — это единица измерения массы. Поэтому найдем массу трубы. Для этого необходимо вычислить объем материала, из которого сделана труба, и умножить его на плотность чугуна.

Труба представляет собой полый цилиндр. Объем ее материала $V$ равен произведению площади поперечного сечения (кольца) $S$ на длину трубы $l$:

$V = S \cdot l$

Площадь поперечного сечения $S$ вычисляется как разность площадей внешнего и внутреннего кругов:

$S = \pi (R^2 - r^2)$

где $R$ - внешний радиус, а $r$ - внутренний радиус трубы.

1. Найдем внешний радиус $R$. Он равен половине внешнего диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{0,2 \text{ м}}{2} = 0,1 \text{ м}$

2. Найдем внутренний радиус $r$. Он равен внешнему радиусу минус толщина стенки:

$r = R - t = 0,1 \text{ м} - 0,02 \text{ м} = 0,08 \text{ м}$

3. Вычислим площадь поперечного сечения $S$, используя заданное приближение $\pi \approx 3$:

$S \approx 3 \cdot ((0,1)^2 - (0,08)^2) = 3 \cdot (0,01 - 0,0064) = 3 \cdot 0,0036 = 0,0108 \text{ м}^2$

4. Теперь найдем объем чугуна в трубе:

$V = S \cdot l \approx 0,0108 \text{ м}^2 \cdot 2 \text{ м} = 0,0216 \text{ м}^3$

5. Зная объем и плотность, найдем массу трубы $m$ по формуле $m = \rho \cdot V$:

$m \approx 7500 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,0216 \text{ м}^3 = 162 \text{ кг}$

Ответ: 162 кг.