Номер 25.18, страница 146 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 25. Объем цилиндра. Глава V. Объемы тел - номер 25.18, страница 146.

Условие.

25.18. Найдите объем цилиндра, вписанного призму, основанием которой является правильный треугольник со стороной 1 см, а боковые ребра призмы равны 2 см.

Решение 2 (rus).

Дано:

Призма, в основание которой вписан цилиндр.

Основание призмы - правильный треугольник со стороной $a = 1$ см.

Боковое ребро призмы (высота) $h_{пр} = 2$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$h_{пр} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра $V_{цил}$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V_{цил} = \pi r^2 h$, где $r$ - радиус основания цилиндра, а $h$ - его высота.

Поскольку цилиндр вписан в призму, его высота равна высоте призмы. Основание призмы — правильный треугольник, из чего следует, что призма прямая, и ее высота равна длине бокового ребра. Таким образом, высота цилиндра $h = h_{пр} = 2$ см.

Основание цилиндра (окружность) вписано в основание призмы (правильный треугольник). Следовательно, радиус $r$ основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$.

Формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 1$ см:

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения радиуса $r$ и высоты $h$ в формулу объема:

$V_{цил} = \pi r^2 h = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 \cdot 2$

Выполним вычисления:

$V_{цил} = \pi \cdot \frac{3}{36} \cdot 2 = \pi \cdot \frac{1}{12} \cdot 2 = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$ см$^3$.

Ответ: объем цилиндра равен $\frac{\pi}{6}$ см$^3$.