Номер 25.12, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.12. В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого?

Дано:

Высота жидкости в первом сосуде: $h_1 = 16$ см

Соотношение диаметров сосудов: $d_2 = 2d_1$

$h_1 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$

Найти:

Высоту жидкости во втором сосуде: $h_2$

Решение:

Объем жидкости в цилиндрическом сосуде вычисляется по формуле $V = S \cdot h$, где $S$ - площадь основания, а $h$ - высота уровня жидкости.

Площадь основания цилиндра (круга) равна $S = \pi r^2$, где $r$ - радиус. Поскольку радиус равен половине диаметра ($r = d/2$), формулу площади можно записать через диаметр: $S = \pi (\frac{d}{2})^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.

Запишем объем жидкости в первом сосуде ($V_1$), используя его высоту $h_1$ и диаметр $d_1$:

$V_1 = S_1 \cdot h_1 = \frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1$

Теперь запишем объем жидкости во втором сосуде ($V_2$). Его диаметр $d_2 = 2d_1$, а искомую высоту обозначим как $h_2$:

$V_2 = S_2 \cdot h_2 = \frac{\pi d_2^2}{4} \cdot h_2 = \frac{\pi (2d_1)^2}{4} \cdot h_2 = \frac{\pi \cdot 4d_1^2}{4} \cdot h_2 = \pi d_1^2 \cdot h_2$

Так как жидкость просто перелили из одного сосуда в другой, ее объем не изменился. Следовательно, $V_1 = V_2$.

Приравняем выражения для объемов:

$\frac{\pi d_1^2}{4} \cdot h_1 = \pi d_1^2 \cdot h_2$

Сократим обе части уравнения на $\pi d_1^2$ (так как диаметр не равен нулю):

$\frac{h_1}{4} = h_2$

Теперь подставим известное значение высоты $h_1 = 16$ см:

$h_2 = \frac{16 \text{ см}}{4} = 4 \text{ см}$

Можно заметить, что так как диаметр увеличился в 2 раза, площадь основания увеличилась в $2^2 = 4$ раза. Поскольку объем жидкости остался прежним, высота должна уменьшиться в 4 раза.

Ответ: уровень жидкости будет находиться на высоте 4 см.