Номер 25.5, страница 145 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

25.5. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 1 см и наклонена к плоскости основания под углом $30^{\circ}$. Найдите объем цилиндра.

Дано:

Диагональ осевого сечения цилиндра, $d = 1$ см

Угол наклона диагонали к плоскости основания, $\alpha = 30^\circ$

Перевод в СИ:

$d = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Объем цилиндра, $V$.

Решение:

Объем цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h = \pi R^2 h$, где $R$ — радиус основания цилиндра, а $h$ — его высота.

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны высоте цилиндра $h$ и диаметру его основания $D$. Диагональ этого прямоугольника $d$, его сторона, лежащая в плоскости основания (диаметр $D$), и боковая сторона (высота $h$) образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике диагональ $d$ является гипотенузой, а высота $h$ и диаметр $D$ — катетами. Угол между диагональю $d$ и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $d$ и катетом $D$, который равен $\alpha = 30^\circ$.

Используя тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, найдем высоту $h$ и диаметр $D$.

Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$:

$h = d \cdot \sin(\alpha) = 1 \cdot \sin(30^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0.5 \text{ см}$

Диаметр основания $D$ является катетом, прилежащим к углу $\alpha$:

$D = d \cdot \cos(\alpha) = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$

Радиус основания $R$ равен половине диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{3}/2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}$

Теперь мы можем вычислить объем цилиндра, подставив найденные значения $R$ и $h$ в формулу объема:

$V = \pi R^2 h = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 \cdot 0.5 = \pi \cdot \frac{3}{16} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\pi}{32} \text{ см}^3$

Ответ: $\frac{3\pi}{32} \text{ см}^3$.