Номер 20.24, страница 124 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.24. Повторите определения цилиндра, вписанного в призму, и сферы, вписанной в цилиндр.

Цилиндр, вписанный в призму

Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания (круги) вписаны в основания призмы, а его боковая поверхность касается всех боковых граней призмы.
Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, она должна удовлетворять двум условиям:
1. Призма должна быть прямой, то есть ее боковые ребра должны быть перпендикулярны плоскостям оснований.
2. В основание призмы (которое является многоугольником) можно вписать окружность.
При этом радиус основания цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы, а высота цилиндра $h$ равна высоте призмы $H$. Ось цилиндра соединяет центры окружностей, вписанных в основания призмы.

Ответ: Цилиндр называется вписанным в призму, если его основания вписаны в основания призмы, а боковая поверхность касается всех боковых граней призмы. Это возможно только для прямой призмы, в основание которой можно вписать окружность.

Сфера, вписанная в цилиндр

Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих оснований цилиндра и каждой его образующей (то есть всей боковой поверхности).
Вписать сферу в цилиндр можно только в том случае, если цилиндр является равносторонним, то есть его высота равна диаметру основания.
Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а его высота — $H$. Для вписанной сферы радиусом $R$ будут выполняться следующие условия:
- Радиус сферы равен радиусу основания цилиндра: $R = r$.
- Высота цилиндра равна диаметру сферы: $H = 2R$.
Из этих условий следует, что для такого цилиндра обязательно должно выполняться равенство $H = 2r$.
Центр вписанной сферы находится в середине оси цилиндра, а сама сфера касается оснований в их центрах.

Ответ: Сфера называется вписанной в цилиндр, если она касается обоих его оснований и боковой поверхности. Это возможно только в том случае, если цилиндр является равносторонним, то есть его высота равна диаметру основания ($H=2r$).