Номер 20.18, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.18. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды и ее высота равны 1 см. Укажите расположение центра описанной около этой пирамиды сферы.

Дано:

Пирамида правильная, шестиугольная.

Сторона основания, $a = 1 \text{ см}$

Высота пирамиды, $h = 1 \text{ см}$

Найти:

Расположение центра описанной сферы.

Решение:

Центр сферы, описанной около любой правильной пирамиды, всегда лежит на ее оси симметрии, которой является высота пирамиды. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания (правильного шестиугольника) как $O$. Таким образом, высота пирамиды — это отрезок $SO$, и на нем лежит искомый центр описанной сферы, который мы обозначим как $C$.

По определению, центр описанной сферы равноудален от всех вершин многогранника. Пусть $R$ — радиус этой сферы. Тогда расстояние от центра $C$ до любой вершины основания пирамиды (например, $A$) и до вершины пирамиды $S$ одинаково и равно $R$. То есть, $CA = CS = R$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно длине его стороны. Следовательно, расстояние $OA = a$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $COA$, где $C$ лежит на высоте $SO$. Катетами этого треугольника являются $OA$ и $CO$, а гипотенузой — $CA$. По теореме Пифагора: $CA^2 = CO^2 + OA^2$

Пусть расстояние от центра основания $O$ до центра сферы $C$ равно $x$, то есть $CO = x$. Тогда, подставляя известные величины, получаем: $R^2 = x^2 + a^2$

Расстояние от центра сферы $C$ до вершины $S$ можно выразить как разность высоты пирамиды $h$ и отрезка $CO$: $CS = SO - CO = h - x$ Следовательно, $R^2 = (h - x)^2$.

Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для квадрата радиуса $R^2$: $x^2 + a^2 = (h - x)^2$

Подставим в это уравнение данные из условия задачи: $a = 1 \text{ см}$ и $h = 1 \text{ см}$. $x^2 + 1^2 = (1 - x)^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$: $x^2 + 1 = 1 - 2x + x^2$

Сократим $x^2$ и $1$ в обеих частях уравнения: $0 = -2x$ $x = 0$

Величина $x$ представляет собой расстояние от центра основания $O$ до центра сферы $C$. Так как $x = 0$, это означает, что точка $C$ совпадает с точкой $O$.

Ответ: Центр описанной около данной пирамиды сферы расположен в центре ее основания.