Номер 20.17, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.17. Ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1 см. Укажите расположение центра описанной около этой пирамиды сферы.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.

Все ребра равны $l = 1$ см.

Найти:

Расположение центра описанной сферы.

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — ее вершина. По условию задачи, все ребра пирамиды равны 1 см. Это значит, что стороны основания ($AB, BC, CD, DA$) и боковые ребра ($SA, SB, SC, SD$) имеют длину 1 см.

Центр сферы, описанной около многогранника, является точкой, равноудаленной от всех его вершин. В силу симметрии правильной пирамиды, центр описанной сферы должен лежать на ее высоте $SO$, где $O$ — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD$).

Рассмотрим диагональное сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диагональ основания, например, $AC$. Это сечение представляет собой треугольник $SAC$. Все три вершины этого треугольника ($S, A, C$) лежат на описанной сфере. Это означает, что окружность, описанная около треугольника $SAC$, является большой окружностью сферы, а ее центр — центром описанной сферы.

Найдем длины сторон треугольника $SAC$:

1. Боковые ребра $SA$ и $SC$ по условию равны 1 см: $SA = SC = 1$ см.

2. $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$ со стороной 1 см. Найдем ее длину по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$

Отсюда, $AC = \sqrt{2}$ см.

Теперь проверим тип треугольника $SAC$ с помощью обратной теоремы Пифагора. Сравним квадрат большей стороны $AC$ с суммой квадратов двух других сторон $SA$ и $SC$