Номер 20.20, страница 123 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.20. Основанием пирамиды $SABCDEF$ является правильный шестиугольник со стороной равной 2 см. Ребро $SA$ равно 3 см и является высотой этой пирамиды. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$
Основание $ABCDEF$ – правильный шестиугольник
Сторона основания, $a = 2$ см
Высота пирамиды, $H = SA = 3$ см
Ребро $SA$ перпендикулярно плоскости основания

Перевод в систему СИ:
$a = 0.02$ м
$H = 0.03$ м

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$.

Решение:

Центр описанной около пирамиды сферы равноудален от всех ее вершин. Обозначим центр сферы как $O$, а ее радиус как $R$. Все вершины пирамиды $S, A, B, C, D, E, F$ лежат на поверхности сферы.

Рассмотрим плоскость, проходящую через вершину пирамиды $S$, вершину основания $A$ и диаметрально противоположную ей вершину основания $D$. Эта плоскость $SAD$ является плоскостью симметрии для данной пирамиды. Это следует из того, что прямая $AD$ является осью симметрии для правильного шестиугольника $ABCDEF$, а высота $SA$ лежит в этой плоскости (так как $S$, $A$, $D$ определяют плоскость).

Поскольку плоскость $SAD$ является плоскостью симметрии пирамиды, центр описанной сферы $O$ должен лежать в этой плоскости. Раз центр $O$ лежит в плоскости $SAD$ и равноудален от точек $S, A, D$, то он является центром окружности, описанной около треугольника $SAD$. Следовательно, радиус описанной сферы $R$ равен радиусу окружности, описанной около треугольника $SAD$.

Найдем стороны треугольника $SAD$:

1. Сторона $SA$ является высотой пирамиды, по условию $SA = 3$ см.

2. Сторона $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны: $AD = 2a$.

$AD = 2 \cdot 2 = 4$ см.

3. Так как ребро $SA$ является высотой пирамиды, оно перпендикулярно плоскости основания, а значит, перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Следовательно, $SA \perp AD$.

Таким образом, треугольник $SAD$ является прямоугольным с катетами $SA = 3$ см и $AD = 4$ см.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине длины его гипотенузы. Найдем гипотенузу $SD$ по теореме Пифагора:

$SD^2 = SA^2 + AD^2$

$SD^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$SD = \sqrt{25} = 5$ см.

Теперь найдем радиус описанной сферы $R$, который равен радиусу описанной окружности треугольника $SAD$:

$R = \frac{SD}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ см.

Ответ: $2.5$ см.