Номер 20.11, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.11. Найдите радиус сферы, описанной около правильной шестиугольной пирамиды, стороны основания и высота которой равны 1 см.

Дано:

Пирамида — правильная шестиугольная.
Сторона основания $a = 1$ см.
Высота пирамиды $h = 1$ см.

Перевод в систему СИ не требуется, так как все величины даны в сантиметрах.

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте. Обозначим вершину пирамиды как $S$, а центр ее основания (правильного шестиугольника) — как $H$. Высота пирамиды — это отрезок $SH$, и по условию ее длина $h = 1$ см.

Пусть $O$ — центр описанной сферы, а $R$ — ее радиус. Поскольку все вершины пирамиды должны быть равноудалены от центра сферы $O$, то расстояния от $O$ до вершины $S$ и до любой вершины основания (например, $A$) равны радиусу $R$: $OS = OA = R$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через вершину $S$ и диаметр описанной около основания окружности, например, через вершины основания $A$ и $D$. В сечении получим равнобедренный треугольник $ASD$. Его высота $SH$ является высотой пирамиды, а точка $O$ лежит на этой высоте.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник со стороной $a=1$ см. Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне. Обозначим этот радиус как $r_{осн}$. Таким образом, расстояние от центра основания $H$ до любой его вершины равно: $r_{осн} = HA = a = 1$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$. Его катеты — это $OH$ и $HA$, а гипотенуза — $OA$. По теореме Пифагора: $OA^2 = OH^2 + HA^2$

Подставим известные значения $OA = R$ и $HA = 1$: $R^2 = OH^2 + 1^2$

Точка $O$ лежит на прямой, содержащей высоту $SH$. Расстояние $OH$ можно выразить через высоту $h$ и радиус $R$. Так как $OS = R$ и $SH = h = 1$, то расстояние $OH = |SH - OS| = |h - R| = |1 - R|$.

Подставим это выражение в полученное уравнение: $R^2 = (|1 - R|)^2 + 1$

Поскольку $(|x|)^2 = x^2$, можем раскрыть скобки: $R^2 = (1 - R)^2 + 1$ $R^2 = 1 - 2R + R^2 + 1$

Вычтем $R^2$ из обеих частей уравнения: $0 = 1 - 2R + 1$ $0 = 2 - 2R$ $2R = 2$ $R = 1$ см.

Можно также применить общую формулу для радиуса сферы, описанной около правильной $n$-угольной пирамиды: $R = \frac{r_{осн}^2 + h^2}{2h}$

Подставим в нее наши данные: $h=1$ см и $r_{осн}=1$ см. $R = \frac{1^2 + 1^2}{2 \cdot 1} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Результаты, полученные двумя способами, совпадают.

Ответ: $1$ см.