Номер 20.4, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.4. Найдите радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а радиус окружности, описанной около основания, равен 1 см.

Дано:

Пирамида - правильная
Длина бокового ребра $l = 2$ см
Радиус окружности, описанной около основания, $r_{осн} = 1$ см

Перевод в СИ:
$l = 0.02$ м
$r_{осн} = 0.01$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R_{сф}$

Решение:

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит на ее высоте. Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту пирамиды $SO$ и одно из ее боковых ребер, например, $SA$. В этом сечении $S$ – вершина пирамиды, $O$ – центр основания (центр описанной окружности), $A$ – одна из вершин основания.

Полученный треугольник $SOA$ является прямоугольным, где:
$SA$ – боковое ребро, которое является гипотенузой, $SA = l = 2$ см.
$OA$ – радиус окружности, описанной около основания, который является катетом, $OA = r_{осн} = 1$ см.
$SO$ – высота пирамиды $H$, которая является вторым катетом.

Используя теорему Пифагора, найдем высоту пирамиды $H$:
$SA^2 = SO^2 + OA^2$
$l^2 = H^2 + r_{осн}^2$
$H^2 = l^2 - r_{осн}^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$
$H = \sqrt{3}$ см.

Радиус $R_{сф}$ сферы, описанной около правильной пирамиды, можно найти по формуле, которая связывает его с высотой пирамиды $H$ и длиной бокового ребра $l$:
$R_{сф} = \frac{l^2}{2H}$

Данная формула следует из того, что центр описанной сферы $K$ равноудален от всех вершин пирамиды и лежит на ее высоте $SO$. Если рассмотреть треугольник, образованный боковым ребром $l$ и диаметром описанной окружности основания ($2r_{осн}$), то радиус окружности, описанной около этого треугольника, и будет радиусом описанной сферы. По формуле радиуса описанной окружности ($R = \frac{abc}{4S_{тр}}$) для треугольника со сторонами $l, l, 2r_{осн}$ и высотой $H$ к стороне $2r_{осн}$, имеем:
$R_{сф} = \frac{l \cdot l \cdot 2r_{осн}}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2r_{осн} \cdot H} = \frac{2l^2r_{осн}}{4r_{осн}H} = \frac{l^2}{2H}$.

Подставим известные значения в полученную формулу:
$R_{сф} = \frac{2^2}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Для получения окончательного ответа избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:
$R_{сф} = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: радиус сферы равен $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.