Номер 20.3, страница 122 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

20.3. Найдите радиус сферы, описанной около правильной пирамиды, боковые ребра которой равны 2 см, а высота равна 1 см.

Дано:

Правильная пирамида

Боковое ребро $L = 2$ см

Высота $H = 1$ см

$L = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы $R$

Решение:

Для нахождения радиуса сферы, описанной около правильной пирамиды, можно использовать общую формулу, связывающую радиус сферы $R$, высоту пирамиды $H$ и длину бокового ребра $L$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через ее высоту и одно из боковых ребер. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник, катетами которого являются высота пирамиды $H$ и радиус $r_b$ окружности, описанной около основания пирамиды, а гипотенузой — боковое ребро $L$. По теореме Пифагора:

$L^2 = H^2 + r_b^2$

Центр описанной сферы $O_с$ лежит на высоте пирамиды (или на ее продолжении), так как пирамида правильная. Расстояние от центра сферы до любой вершины пирамиды равно радиусу $R$.

Рассмотрим расстояние от центра сферы $O_с$ до вершины пирамиды $S$ и до одной из вершин основания $A$. Оба эти расстояния равны $R$.

$O_сS = R$

$O_сA = R$

Пусть $O$ — центр основания пирамиды. Тогда $SO = H$. Расстояние от центра сферы $O_с$ до центра основания $O$ обозначим как $d$. Так как точки $S, O, O_с$ лежат на одной прямой (высоте), то $d = |SO - O_сS|$ или $d = |H - R|$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_сOA$, где $O_сO = d$, $OA = r_b$, и гипотенуза $O_сA = R$. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r_b^2$

Подставим в это уравнение $d = |H - R|$ и $r_b^2 = L^2 - H^2$:

$R^2 = (|H - R|)^2 + (L^2 - H^2)$

$R^2 = (H - R)^2 + L^2 - H^2$

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + L^2 - H^2$

Сокращаем $R^2$ и $H^2$ в обеих частях уравнения:

$0 = -2HR + L^2$

Отсюда выражаем радиус $R$:

$2HR = L^2$

$R = \frac{L^2}{2H}$

Теперь подставим данные из условия задачи в полученную формулу:

$L = 2$ см

$H = 1$ см

$R = \frac{2^2}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен 2 см.