Номер 19.12, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.12. Около правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 1 см, описана сфера радиусом 1 см. Найдите высоту призмы.

Дано

Призма - правильная треугольная.
Сторона основания призмы, $a = 1$ см.
Радиус описанной сферы, $R_{сф} = 1$ см.

$a = 0.01$ м
$R_{сф} = 0.01$ м

Найти:

Высоту призмы, $H$.

Решение

Поскольку сфера описана около правильной призмы, её центр $O$ лежит на оси призмы (прямой, соединяющей центры оснований) и равноудалён от всех вершин призмы. Это означает, что центр сферы находится точно посередине высоты призмы.

Основанием призмы является правильный (равносторонний) треугольник. Найдём радиус $r_{осн}$ окружности, описанной около этого треугольника. Для правильного треугольника со стороной $a$ радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$r_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны основания $a = 1$ см:

$r_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются половина высоты призмы $(\frac{H}{2})$ и радиус окружности, описанной около основания $(r_{осн})$, а гипотенузой — радиус описанной сферы $(R_{сф})$. Этот треугольник образован центром сферы $O$, центром основания призмы (например, $O_{осн}$) и одной из вершин этого основания (например, $A$).

По теореме Пифагора для треугольника $\triangle A O_{осн} O$:

$(R_{сф})^2 = (r_{осн})^2 + (\frac{H}{2})^2$

Подставим известные значения $R_{сф} = 1$ см и $r_{осн} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ см в уравнение:

$1^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{H}{2}\right)^2$

$1 = \frac{1}{3} + \frac{H^2}{4}$

Теперь решим это уравнение относительно $H$:

$\frac{H^2}{4} = 1 - \frac{1}{3}$

$\frac{H^2}{4} = \frac{2}{3}$

$H^2 = 4 \cdot \frac{2}{3} = \frac{8}{3}$

$H = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$H = \frac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$ см.