Номер 19.10, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.10. При каком условии центр сферы, описанной около прямой тре-угольной призмы, будет находиться:

а) внутри призмы;

б) на одной из боковых граней призмы;

в) вне призмы?

Решение

Для того чтобы около прямой призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно, чтобы около ее основания можно было описать окружность. Так как в основании призмы лежит треугольник, а около любого треугольника можно описать окружность, то около любой прямой треугольной призмы можно описать сферу.

Центр $O$ сферы, описанной около прямой призмы, лежит на середине отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около оснований призмы. Пусть основания призмы — треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Пусть $O_{ABC}$ и $O_{A_1B_1C_1}$ — центры описанных около них окружностей. Тогда центр сферы $O$ — это середина отрезка $O_{ABC}O_{A_1B_1C_1}$.

Поскольку призма прямая, отрезок $O_{ABC}O_{A_1B_1C_1}$ перпендикулярен плоскостям оснований. Это означает, что положение центра сферы $O$ относительно призмы (внутри, на боковой грани или вне) определяется положением центра описанной окружности основания $O_{ABC}$ относительно самого треугольника-основания $ABC$.

а) внутри призмы

Центр сферы будет находиться внутри призмы тогда и только тогда, когда его проекция на плоскость основания, то есть центр $O_{ABC}$ описанной около основания окружности, будет находиться внутри треугольника $ABC$. Это условие выполняется, если треугольник $ABC$ является остроугольным.

Ответ: Центр сферы находится внутри призмы, если треугольник в ее основании является остроугольным.

б) на одной из боковых граней призмы

Центр сферы будет находиться на одной из боковых граней призмы тогда и только тогда, когда центр $O_{ABC}$ описанной около основания окружности, будет лежать на одной из сторон треугольника $ABC$. Это условие выполняется, если треугольник $ABC$ является прямоугольным. В этом случае центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Боковая грань, на которой будет лежать центр сферы, — это та, которая построена на гипотенузе основания.

Ответ: Центр сферы находится на одной из боковых граней призмы, если треугольник в ее основании является прямоугольным.

в) вне призмы

Центр сферы будет находиться вне призмы тогда и только тогда, когда центр $O_{ABC}$ описанной около основания окружности, будет находиться вне треугольника $ABC$. Это условие выполняется, если треугольник $ABC$ является тупоугольным.

Ответ: Центр сферы находится вне призмы, если треугольник в ее основании является тупоугольным.