Номер 19.5, страница 119 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

19.5. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 см и 4 см. Радиус описанной сферы равен 3 см. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины параллелепипеда.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед
Ребро $a = 2$ см
Ребро $b = 4$ см
Радиус описанной сферы $R = 3$ см

Поскольку все величины даны в сантиметрах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Третье ребро $c$.

Решение:

Связь между радиусом $R$ описанной сферы и измерениями прямоугольного параллелепипеда (длинами ребер $a, b, c$, выходящих из одной вершины) определяется через его пространственную диагональ $d$.

Диаметр описанной сферы равен пространственной диагонали параллелепипеда.

Квадрат пространственной диагонали $d$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле, которая является обобщением теоремы Пифагора для трех измерений:

$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Диаметр сферы $D$ равен $2R$, и так как $D = d$, то $d = 2R$.

Возводя обе части равенства $d = 2R$ в квадрат, получаем $d^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

Приравнивая два выражения для $d^2$, получаем основную формулу для решения задачи:

$4R^2 = a^2 + b^2 + c^2$

Из этой формулы выразим искомое ребро $c$:

$c^2 = 4R^2 - a^2 - b^2$

Подставим в формулу известные значения из условия задачи: $a = 2$ см, $b = 4$ см, $R = 3$ см.

$c^2 = 4 \cdot (3)^2 - (2)^2 - (4)^2$

$c^2 = 4 \cdot 9 - 4 - 16$

$c^2 = 36 - 4 - 16$

$c^2 = 36 - 20$

$c^2 = 16$

Чтобы найти длину ребра $c$, извлечем квадратный корень из полученного значения. Поскольку длина ребра может быть только положительной величиной, выбираем арифметический корень.

$c = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: третье ребро, выходящее из той же вершины параллелепипеда, равно 4 см.