Задания, страница 118 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Приведите пример призмы, около которой нельзя описать сферу.

Для того чтобы около призмы можно было описать сферу, необходимо и достаточно выполнение двух условий одновременно:
1. Призма должна быть прямой (т.е. её боковые рёбра перпендикулярны основаниям).
2. Около основания призмы должна описываться окружность.

Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то описать сферу около призмы невозможно. Таким образом, для примера достаточно взять призму, которая не удовлетворяет одному из этих критериев.

Решение

Рассмотрим пример призмы, которая нарушает второе условие: прямая призма, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом.

Пусть дана прямая призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в основании которой лежит ромб $ABCD$.

Предположим, что около этой призмы можно описать сферу. Это означает, что все вершины призмы ($A, B, C, D, A_1, B_1, C_1, D_1$) должны лежать на поверхности этой сферы. В частности, все вершины нижнего основания $A, B, C, D$ должны лежать на сфере.

Когда плоскость (в данном случае плоскость основания $ABC$) пересекает сферу, в сечении образуется окружность. Следовательно, все четыре вершины основания $A, B, C, D$ должны лежать на этой окружности. Это означает, что около ромба $ABCD$ можно описать окружность.

Из планиметрии известно, что окружность можно описать около выпуклого четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна $180^\circ$.

У ромба, как у любого параллелограмма, противоположные углы равны. Обозначим их: $\angle A = \angle C = \alpha$ и $\angle B = \angle D = \beta$.

Для того чтобы ромб был вписан в окружность, должно выполняться равенство:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$
Подставив равные углы, получаем:
$\alpha + \alpha = 180^\circ \implies 2\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 90^\circ$.

Если угол ромба равен $90^\circ$, то все его углы прямые, и такой ромб является квадратом. Однако мы выбрали для примера ромб, который не является квадратом. Следовательно, его углы не равны $90^\circ$, и условие вписанности в окружность для него не выполняется.

Таким образом, мы пришли к противоречию: наше предположение о возможности описать сферу привело к выводу, что около основания-ромба можно описать окружность, что неверно. Следовательно, около прямой призмы, основанием которой является ромб (не квадрат), нельзя описать сферу.

Другим простым примером является любая наклонная призма (нарушение первого условия). Даже если ее основание — многоугольник, который можно вписать в окружность (например, треугольник), центры описанных окружностей оснований не лежат на общем перпендикуляре к плоскостям оснований, что делает невозможным существование центра сферы, равноудаленного от всех вершин.

Ответ: Примером призмы, около которой нельзя описать сферу, является любая наклонная призма или любая прямая призма, в основании которой лежит многоугольник, около которого нельзя описать окружность (например, прямая призма с основанием в виде ромба, не являющегося квадратом).