Вопросы, страница 118 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какой многогранник называется вписанным в сферу?

2. Какая сфера называется описанной около многогранника?

3. Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда?

4. Где находится центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда?

5. Около какой прямой призмы можно описать сферу?

Какой многогранник называется вписанным в сферу?

Многогранник называется вписанным в сферу, если все его вершины лежат на поверхности этой сферы. Такую сферу, в свою очередь, называют описанной около многогранника.

Ответ: многогранник, все вершины которого принадлежат сфере.

2. Какая сфера называется описанной около многогранника?

Сфера называется описанной около многогранника, если она проходит через все вершины этого многогранника. Это означает, что все вершины многогранника лежат на поверхности данной сферы, а сам многогранник находится внутри сферы.

Ответ: сфера, проходящая через все вершины многогранника.

3. Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда?

Да, около любого прямоугольного параллелепипеда можно описать сферу. Условием для этого является существование точки, равноудаленной от всех вершин многогранника. У прямоугольного параллелепипеда такая точка есть — это точка пересечения его диагоналей. Расстояние от этой точки до любой из вершин одинаково и равно половине длины диагонали параллелепипеда. Если измерения параллелепипеда равны $a, b, c$, то квадрат его диагонали $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$, а радиус описанной сферы $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}{2}$.

Ответ: да, можно.

4. Где находится центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда?

Центр сферы, описанной около прямоугольного параллелепипеда, совпадает с его центром симметрии. Эта точка является точкой пересечения всех четырех пространственных диагоналей параллелепипеда, а также серединой каждой из них. Таким образом, эта точка равноудалена от всех восьми вершин параллелепипеда.

Ответ: в точке пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (в его центре симметрии).

5. Около какой прямой призмы можно описать сферу?

Сферу можно описать около прямой призмы тогда и только тогда, когда около многоугольника, лежащего в её основании, можно описать окружность. Если это условие выполнено, то центр описанной сферы будет находиться на середине отрезка, соединяющего центры окружностей, описанных около верхнего и нижнего оснований призмы. Этот отрезок является высотой призмы, проходящей через центры оснований. Если же около основания призмы нельзя описать окружность, то и описать сферу около такой прямой призмы невозможно.

Ответ: около такой прямой призмы, в основании которой лежит многоугольник, около которого можно описать окружность.