Номер 18.20, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.20. Докажите, что если около четырехугольной призмы можно описать цилиндр, то суммы противолежащих двугранных углов при боковых ребрах этой призмы равны.

Решение:

1. Пусть дана четырехугольная призма, около которой описан цилиндр. Условие, что около призмы можно описать цилиндр, означает, что все вершины призмы лежат на поверхности этого цилиндра. В частности, вершины основания, скажем $A, B, C, D$, лежат на окружности нижнего основания цилиндра, а соответствующие им вершины верхнего основания призмы лежат на окружности верхнего основания цилиндра. Отсюда следует, что основание призмы — четырехугольник $ABCD$ — является вписанным в окружность.

2. Основное свойство вписанного четырехугольника гласит, что сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. То есть для основания $ABCD$ выполняются равенства:
$\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.

3. Боковые ребра призмы ($AA_1, BB_1$ и т.д.) соединяют соответствующие вершины оснований. Поскольку эти вершины лежат на боковой поверхности цилиндра, боковые ребра призмы должны быть параллельны оси цилиндра. Ось цилиндра по определению перпендикулярна его основаниям. Следовательно, боковые ребра призмы перпендикулярны ее основаниям. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, является прямой призмой.

4. Двугранный угол при боковом ребре прямой призмы равен соответствующему углу в ее основании. Например, двугранный угол при ребре $BB_1$ образован гранями $ABB_1A_1$ и $CBB_1C_1$. Так как призма прямая, ребра основания $AB$ и $BC$ перпендикулярны боковому ребру $BB_1$. Поэтому угол $\angle ABC$ является линейным углом этого двугранного угла. Обозначим двугранные углы при ребрах, проходящих через вершины $A, B, C, D$, как $\phi_A, \phi_B, \phi_C, \phi_D$ соответственно. Тогда:
$\phi_A = \angle A$
$\phi_B = \angle B$
$\phi_C = \angle C$
$\phi_D = \angle D$

5. Требуется доказать, что суммы противолежащих двугранных углов равны. Противолежащими являются пары углов при ребрах $AA_1$ и $CC_1$, а также $BB_1$ и $DD_1$. То есть нам нужно доказать, что $\phi_A + \phi_C = \phi_B + \phi_D$. Используя равенства из пункта 4, перепишем это как $\angle A + \angle C = \angle B + \angle D$.
Из пункта 2 мы знаем, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$.
Следовательно, $\phi_A + \phi_C = 180^\circ$ и $\phi_B + \phi_D = 180^\circ$.
Таким образом, $\phi_A + \phi_C = \phi_B + \phi_D$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если около четырехугольной призмы можно описать цилиндр, то она является прямой, а ее основание — вписанным четырехугольником. Двугранные углы при боковых ребрах такой призмы равны соответствующим углам основания. Так как суммы противолежащих углов вписанного четырехугольника равны $180^\circ$, то и суммы противолежащих двугранных углов равны между собой (обе суммы равны $180^\circ$).