Номер 18.15, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.15. Найдите радиус основания и высоту конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида.
Конус описан около пирамиды.
Длина ребра основания пирамиды $a = 1$ см.
Длина бокового ребра пирамиды $l = 1$ см.

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания конуса $R$
Высоту конуса $H$

Решение:

Так как конус описан около правильной четырехугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание пирамиды (квадрат) вписано в основание конуса (окружность). Следовательно, высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус основания конуса — радиусу окружности, описанной около квадрата.

Радиус основания конуса
Основанием пирамиды является квадрат со стороной $a = 1$ см. Радиус $R$ основания конуса равен радиусу окружности, описанной около этого квадрата. Он равен половине диагонали квадрата $d$.
Найдем диагональ по теореме Пифагора:
$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.
Следовательно, радиус основания конуса равен:
$R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Высота конуса
Высота конуса $H$ равна высоте пирамиды $h_{пир}$. Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h_{пир}$ и радиус описанной окружности $R$, а гипотенузой — боковое ребро пирамиды $l$.
По условию $l = 1$ см. Из предыдущего пункта $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + R^2$.
Выразим высоту $H$:
$H^2 = l^2 - R^2$
Подставим известные значения:
$H^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1 - \frac{2}{4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$H = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.
Ответ: высота конуса равна $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.