Номер 18.14, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.14. Найдите радиус основания и высоту конуса, описанного около правильной треугольной пирамиды, все ребра которой равны 1 см.

Дано:
Правильная треугольная пирамида, у которой все ребра равны $a = 1$ см.
Конус описан около пирамиды.

Найти:
Радиус основания конуса $R$ и высоту конуса $H$.

Решение:

Поскольку конус описан около правильной треугольной пирамиды, их вершины совпадают, а основание конуса представляет собой окружность, описанную около основания пирамиды. Основанием правильной треугольной пирамиды является правильный (равносторонний) треугольник.

1. Найдем радиус основания конуса $R$.
Радиус основания конуса $R$ равен радиусу окружности, описанной около равностороннего треугольника, который является основанием пирамиды. Сторона этого треугольника равна длине ребра пирамиды, то есть $a = 1$ см.
Радиус описанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:
$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$
Подставим значение $a = 1$ см:
$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

2. Найдем высоту конуса $H$.
Высота конуса $H$ совпадает с высотой пирамиды $H_{пир}$. Высоту пирамиды можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H_{пир}$, боковым ребром пирамиды $L$ (которое является гипотенузой) и радиусом описанной около основания окружности $R$ (который является катетом).
В нашей задаче все ребра пирамиды равны 1 см, значит, боковое ребро $L = 1$ см. Радиус $R$ мы уже нашли, он равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.
По теореме Пифагора:
$L^2 = H^2 + R^2$
Отсюда выразим высоту $H$:
$H = \sqrt{L^2 - R^2}$
Подставим известные значения:
$H = \sqrt{1^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{3}{9}} = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см, высота конуса равна $\frac{\sqrt{6}}{3}$ см.