Номер 18.13, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.13. Боковое ребро правильной пирамиды равно 1 см и образует угол:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$ с плоскостью основания этой пирамиды.

Найдите радиус конуса, описанного около этой пирамиды.

Дано:

Правильная пирамида.

Боковое ребро $L = 1$ см.

Угол $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания.

Перевод в систему СИ:

$L = 0.01$ м.

Найти:

Радиус $R$ основания конуса, описанного около пирамиды, для каждого из углов: а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$.

Решение:

Конус, описанный около правильной пирамиды, имеет общую вершину и высоту с пирамидой. Боковое ребро пирамиды $L$ является образующей конуса. Основание конуса — это окружность, описанная около многоугольника в основании пирамиды. Радиус $R$ этой окружности является радиусом основания конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом основания описанного конуса $R$ и боковым ребром пирамиды $L$. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой, а $R$ и $H$ — катетами. Угол $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $L$ и прилежащим к нему катетом $R$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\alpha) = \frac{R}{L}$

Отсюда выражаем искомый радиус:

$R = L \cdot \cos(\alpha)$

Подставим значение $L=1$ см и найдём радиус для каждого из заданных углов.

а) 30°

При $\alpha = 30^\circ$ радиус равен:

$R = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

б) 45°

При $\alpha = 45^\circ$ радиус равен:

$R = 1 \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

в) 60°

При $\alpha = 60^\circ$ радиус равен:

$R = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: $0,5$ см.