Страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.2. Можно ли вписать цилиндр в:

а) куб;

б) прямоугольный параллелепипед, грани которого отличны от квадратов;

в) наклонный параллелепипед;

г) прямую треугольную призму;

д) правильную $n$-угольную призму?

Для того чтобы в многогранник (в частности, в призму) можно было вписать цилиндр, необходимо выполнение двух условий:
1. Основания цилиндра (окружности) должны вписываться в два параллельных основания призмы. Это возможно только в том случае, если в основание призмы (многоугольник) можно вписать окружность.
2. Боковая поверхность цилиндра должна касаться всех боковых граней призмы. Это возможно, если призма является прямой (то есть её боковые рёбра перпендикулярны основаниям), а центр вписанной в основание окружности равноудалён от боковых граней.
Рассмотрим каждый случай отдельно.

а) куб
Куб является прямой призмой, в основании которой лежит квадрат. В любой квадрат можно вписать окружность. Центр этой окружности будет совпадать с центром квадрата, а её радиус будет равен половине стороны квадрата. Боковые грани куба перпендикулярны основаниям. Следовательно, в куб можно вписать цилиндр. Основания цилиндра будут вписаны в две противоположные грани куба, а высота цилиндра будет равна ребру куба.
Ответ: Да, можно.

б) прямоугольный параллелепипед, грани которого отличны от квадратов
Прямоугольный параллелепипед является прямой призмой, в основании которой лежит прямоугольник. По условию, грани не являются квадратами, значит, и основания не являются квадратами. В многоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ это условие выглядит как $a + a = b + b$, что эквивалентно $a = b$. То есть, окружность можно вписать только в тот прямоугольник, который является квадратом. Так как в основании лежит прямоугольник, не являющийся квадратом, в него нельзя вписать окружность. Следовательно, в такой прямоугольный параллелепипед нельзя вписать цилиндр.
Ответ: Нет, нельзя.

в) наклонный параллелепипед
Наклонный параллелепипед — это призма, боковые рёбра которой не перпендикулярны плоскостям оснований. Чтобы в призму можно было вписать цилиндр, призма должна быть прямой. Ось вписанного цилиндра должна быть перпендикулярна его основаниям, а значит, и основаниям призмы. Боковая поверхность цилиндра состоит из образующих, параллельных его оси. В наклонной призме боковые грани "наклонены" по отношению к основаниям, поэтому условие касания боковой поверхности цилиндра всех боковых граней не может быть выполнено.
Ответ: Нет, нельзя.

г) прямую треугольную призму
Прямая треугольная призма является прямой призмой. Её основание — произвольный треугольник. В любой треугольник можно вписать окружность. Центр этой окружности (инцентр) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Так как призма прямая и в её основание можно вписать окружность, то в неё можно вписать цилиндр.
Ответ: Да, можно.

д) правильную n-угольную призму
Правильная n-угольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный n-угольник. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр этой окружности совпадает с центром многоугольника. Так как призма прямая и в её основание (правильный n-угольник) можно вписать окружность, то в такую призму можно вписать цилиндр.
Ответ: Да, можно.

18.3. Можно ли описать конус около правильной пирамиды?

18.4. Можно ли описать конус в правильную пирамиду?

Да, конус можно описать около любой правильной пирамиды.

Конус считается описанным около пирамиды, если их вершины совпадают, а основание пирамиды вписано в основание конуса (т.е. все вершины основания пирамиды лежат на окружности основания конуса).

Для того чтобы описать конус около правильной пирамиды, необходимо выполнение двух условий:

1. Вокруг основания пирамиды можно описать окружность. Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник. Вокруг любого правильного многоугольника всегда можно описать окружность. Эта окружность станет основанием описанного конуса.

2. Вершина пирамиды должна совпадать с вершиной конуса. В правильной пирамиде вершина проецируется в центр основания, который также является центром описанной окружности. Если мы выберем эту же точку в качестве вершины конуса, то высота пирамиды и ось конуса совпадут.

Поскольку оба условия выполняются для любой правильной пирамиды, то около неё всегда можно описать конус. Вершина у них будет общей, а боковые ребра пирамиды станут образующими конуса.

Ответ:Да, можно.

18.4. Да, конус можно вписать в любую правильную пирамиду.

Конус считается вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается всех боковых граней пирамиды.

Для того чтобы вписать конус в правильную пирамиду, необходимо выполнение следующих условий:

1. В основание пирамиды можно вписать окружность. В основание правильной пирамиды, которым является правильный многоугольник, всегда можно вписать окружность. Эта окружность станет основанием вписанного конуса.

2. Вершины конуса и пирамиды совпадают. Как и в предыдущем случае, мы выбираем вершину правильной пирамиды в качестве вершины конуса.

3. Боковые грани пирамиды касаются боковой поверхности конуса. Апофема правильной пирамиды (высота боковой грани) опускается из вершины пирамиды в точку касания вписанной окружности со стороной основания. Эта апофема одновременно является и образующей вписанного конуса. Поскольку каждая боковая грань содержит такую образующую, она является касательной плоскостью к боковой поверхности конуса. Это справедливо для всех боковых граней в силу симметрии правильной пирамиды.

Все условия выполняются для любой правильной пирамиды, следовательно, в нее всегда можно вписать конус.

Ответ:Да, можно.

18.3. Можно ли описать конус около правильной пирамиды?

18.4. Можно ли вписать конус в правильную пирамиду?

Можно ли вписать конус в правильную пирамиду?

Да, в любую правильную пирамиду можно вписать конус. Конус считается вписанным в пирамиду, если выполняются три условия: их вершины совпадают, основание конуса вписано в основание пирамиды, и боковая поверхность конуса касается всех боковых граней пирамиды.

Рассмотрим, как эти условия выполняются для произвольной правильной пирамиды:

1. Совмещение вершин. Вершину конуса можно совместить с вершиной правильной пирамиды. Пусть это будет точка $S$.

2. Вписывание основания. Основанием правильной пирамиды является правильный многоугольник. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Центр этой окружности совпадает с центром многоугольника. Эту окружность мы и примем за основание конуса.

3. Касание боковых граней. Высота правильной пирамиды $SO$ (где $O$ - центр основания) проектируется в центр основания, который также является центром вписанной окружности. Следовательно, ось конуса совпадёт с высотой пирамиды. Такой конус является прямым круговым.

Апофема правильной пирамиды (высота боковой грани, опущенная из вершины $S$) соединяет вершину с точкой касания стороны основания и вписанной в него окружности. Обозначим апофему $h_a$, высоту пирамиды $H$, а радиус вписанной в основание окружности (он же радиус основания конуса) — $r$. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, радиусом вписанной окружности и апофемой, следует, что $h_a = \sqrt{H^2 + r^2}$.

Образующая $l$ построенного конуса также находится из соотношения $l = \sqrt{H^2 + r^2}$. Таким образом, образующая конуса равна апофеме пирамиды: $l = h_a$.

Каждая апофема пирамиды лежит на соответствующей боковой грани. Поскольку апофема является также и образующей конуса, то каждая боковая грань пирамиды касается боковой поверхности конуса по этой линии. Так как в правильной пирамиде все апофемы равны, то конус будет касаться всех боковых граней одинаковым образом.

Все условия выполняются, следовательно, в любую правильную пирамиду можно вписать конус.

Ответ: Да, можно.

18.5. В каком случае в прямоугольный параллелепипед можно вписать цилиндр?

Решение

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с измерениями (длиной, шириной и высотой) $a, b, c$. Цилиндр считается вписанным в параллелепипед, если он касается всех шести его граней. Пусть радиус основания вписанного цилиндра равен $R$, а его высота равна $H$.

Условие касания всех шести граней можно разбить на два условия:

1. Касание оснований. Основания цилиндра должны касаться верхнего и нижнего оснований параллелепипеда. Это означает, что высота цилиндра $H$ должна быть равна высоте параллелепипеда $c$. Таким образом, $H = c$.

2. Касание боковых граней. Боковая поверхность цилиндра должна касаться четырех боковых граней параллелепипеда. Для этого необходимо, чтобы основание цилиндра (окружность) было вписано в основание параллелепипеда (прямоугольник со сторонами $a$ и $b$).

Окружность можно вписать в прямоугольник только в том случае, если этот прямоугольник является квадратом. Объясним почему. Пусть в прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ вписана окружность. Диаметр этой окружности, $D=2R$, должен быть равен расстоянию между парой параллельных сторон, то есть $D=a$. В то же время, он должен быть равен расстоянию и между другой парой параллельных сторон, то есть $D=b$. Отсюда следует, что $a = b$.

Следовательно, для того чтобы в прямоугольный параллелепипед можно было вписать цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы его основание было квадратом. Такой параллелепипед также называют правильной четырехугольной призмой.

Ответ: В прямоугольный параллелепипед можно вписать цилиндр в том случае, если его основание является квадратом.

18.6. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около единичного куба (рис. 18.5).

Рис. 18.5

Дано:

Цилиндр описан около единичного куба.

Ребро куба $a = 1$.

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$ и высоту цилиндра $H$.

Решение:

Поскольку цилиндр описан около куба, это означает, что основания куба (квадраты) вписаны в основания цилиндра (круги), а высота цилиндра равна высоте (ребру) куба.

1. Высота цилиндра (H)
Высота цилиндра $H$ равна высоте куба, которая, в свою очередь, равна длине его ребра $a$. $H = a = 1$.

2. Радиус основания цилиндра (R)
Основание цилиндра — это круг, описанный около квадрата, который является основанием куба. Диаметр этого круга равен диагонали $d$ квадрата. Найдем диагональ квадрата со стороной $a=1$ по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$ $d = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ Подставляя значение $a=1$, получаем: $d = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Диаметр $D$ основания цилиндра равен диагонали $d$ вписанного квадрата. $D = d = \sqrt{2}$. Радиус основания цилиндра $R$ равен половине его диаметра: $R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: радиус основания цилиндра $R = \frac{\sqrt{2}}{2}$, высота цилиндра $H = 1$.

18.7. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, вписанного в единичный куб (рис. 18.6).

Рис. 18.6

Дано:

Цилиндр вписан в единичный куб.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

$r$ — радиус основания цилиндра.

$h$ — высота цилиндра.

Решение:

По определению, цилиндр, вписанный в куб, — это такой цилиндр, у которого основаниями являются круги, вписанные в две противоположные грани куба.

Высота цилиндра
Высота вписанного цилиндра $h$ равна расстоянию между противоположными гранями куба, в которые вписаны его основания. Это расстояние в точности равно длине ребра куба $a$.
По условию задачи, куб является единичным, что означает, что длина его ребра равна 1.
$a = 1$
Следовательно, высота цилиндра также равна 1.
$h = a = 1$
Ответ: высота цилиндра равна 1.

Радиус основания цилиндра
Основание цилиндра — это круг, который вписан в грань куба. Каждая грань куба является квадратом.
В нашем случае сторона этого квадрата равна ребру единичного куба, то есть $a=1$.
Диаметр $d$ круга, вписанного в квадрат, равен стороне этого квадрата.
$d = a = 1$
Радиус основания цилиндра $r$ равен половине диаметра.
$r = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$
Подставив значение $a=1$, получаем:
$r = \frac{1}{2} = 0.5$
Ответ: радиус основания цилиндра равен 0.5.

18.8. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого, выходящие из одной вершины равны 1 см, 2 см, 3 см. Сколько таких цилиндров?

Дано:

Прямоугольный параллелепипед с ребрами, выходящими из одной вершины:

$a = 1$ см

$b = 2$ см

$c = 3$ см

Перевод в систему СИ:

$a = 0.01$ м

$b = 0.02$ м

$c = 0.03$ м

Найти:

$R$ – радиус основания цилиндра

$H$ – высота цилиндра

Количество возможных цилиндров.

Решение:

Цилиндр, описанный около прямоугольного параллелепипеда, имеет высоту, равную одному из измерений параллелепипеда, а его основание представляет собой круг, описанный около соответствующей прямоугольной грани параллелепипеда. Так как у параллелепипеда три различных измерения, существует три возможных варианта описанного цилиндра, в зависимости от того, какое ребро будет выбрано в качестве высоты.

Вариант 1.

Пусть высота цилиндра $H_1$ равна ребру $c$. Тогда $H_1 = 3$ см. В этом случае основанием цилиндра является круг, описанный около прямоугольной грани со сторонами $a=1$ см и $b=2$ см. Диаметр $D_1$ этого круга равен диагонали прямоугольника. По теореме Пифагора:

$D_1 = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ см.

Радиус основания цилиндра $R_1$ равен половине диаметра:

$R_1 = \frac{D_1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: Высота цилиндра $3$ см, радиус основания $\frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Вариант 2.

Пусть высота цилиндра $H_2$ равна ребру $b$. Тогда $H_2 = 2$ см. Основанием цилиндра является круг, описанный около прямоугольной грани со сторонами $a=1$ см и $c=3$ см. Диаметр $D_2$ этого круга равен диагонали прямоугольника:

$D_2 = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ см.

Радиус основания цилиндра $R_2$ равен:

$R_2 = \frac{D_2}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ см.

Ответ: Высота цилиндра $2$ см, радиус основания $\frac{\sqrt{10}}{2}$ см.

Вариант 3.

Пусть высота цилиндра $H_3$ равна ребру $a$. Тогда $H_3 = 1$ см. Основанием цилиндра является круг, описанный около прямоугольной грани со сторонами $b=2$ см и $c=3$ см. Диаметр $D_3$ этого круга равен диагонали прямоугольника:

$D_3 = \sqrt{b^2 + c^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$ см.

Радиус основания цилиндра $R_3$ равен:

$R_3 = \frac{D_3}{2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Ответ: Высота цилиндра $1$ см, радиус основания $\frac{\sqrt{13}}{2}$ см.

Теперь ответим на вопрос "Сколько таких цилиндров?".

Мы рассмотрели все три возможных варианта выбора высоты цилиндра, которые соответствуют трем измерениям параллелепипеда. Каждый вариант дает уникальный набор параметров (высота и радиус). Следовательно, существует ровно три различных цилиндра, которые можно описать около данного параллелепипеда.

Ответ: Всего существует 3 таких цилиндра.

18.9. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около правильной треугольной призмы, ребра которой равны 1 см. Сделайте рисунок.

Дано:

Правильная треугольная призма, вписанная в цилиндр.

Ребро призмы (и сторона основания, и высота), $a = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$ - ?

Высоту цилиндра $h$ - ?

Решение:

По условию задачи цилиндр описан около правильной треугольной призмы. Это означает, что основания призмы (правильные треугольники) вписаны в основания цилиндра (круги), а высота цилиндра равна высоте призмы.

Сделаем рисунок, показывающий общий вид (слева) и вид сверху на основание (справа).

1. Нахождение высоты цилиндра h.

В условии сказано, что все ребра правильной призмы равны 1 см. Высота правильной призмы равна длине ее бокового ребра. Следовательно, высота призмы $h_{призмы} = a = 1$ см.

Так как призма вписана в цилиндр, их высоты совпадают:

$h = h_{призмы} = 1$ см.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра R.

Основание цилиндра — это круг, описанный около основания призмы. Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник. Сторона этого треугольника, по условию, равна $a = 1$ см.

Радиус $R$ окружности, описанной около равностороннего треугольника со стороной $a$, находится по формуле:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим значение стороны $a = 1$ см:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: радиус основания цилиндра $R = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см, высота цилиндра $h = 1$ см.

18.10. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, ребра которой равны 1 см. Сделайте рисунок.

Дано:

Правильная треугольная призма, все ребра которой равны $a = 1$ см.

В призму вписан цилиндр.

Перевод в СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $r$ и высоту цилиндра $H$.

Решение:

1. Определение высоты цилиндра ($H$)

Цилиндр вписан в правильную призму, это означает, что основания цилиндра вписаны в основания призмы, а высота цилиндра совпадает с высотой призмы. Высота правильной призмы равна длине ее бокового ребра. По условию задачи все ребра призмы равны 1 см, следовательно, боковое ребро также равно 1 см.

Таким образом, высота цилиндра $H$ равна высоте призмы:

$H = 1$ см.

2. Определение радиуса основания цилиндра ($r$)

Основание цилиндра — это круг, вписанный в основание призмы. Основание правильной треугольной призмы — это правильный (равносторонний) треугольник. Сторона этого треугольника, по условию, равна $a = 1$ см.

Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим в формулу значение стороны $a = 1$ см:

$r = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

3. Рисунок

На рисунке изображена правильная треугольная призма с вписанным в нее цилиндром.

Ответ: радиус основания цилиндра $r = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см, высота цилиндра $H = 1$ см.

18.11. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, описанного около правильной шестиугольной призмы, ребра которой равны 1 см.

Сделайте рисунок.

Дано:

Правильная шестиугольная призма, вписанная в цилиндр.

Ребро основания призмы, $a = 1$ см.

Боковое ребро призмы (высота), $h_{пр} = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$a = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

$h_{пр} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $R$ - ?

Высоту цилиндра $H$ - ?

Решение:

Так как цилиндр описан около правильной шестиугольной призмы, то высота цилиндра $H$ равна высоте призмы $h_{пр}$, а основания призмы (правильные шестиугольники) вписаны в основания цилиндра (окружности).

1. Найдем высоту цилиндра $H$.

Высота призмы равна ее боковому ребру. По условию, все ребра призмы равны 1 см, следовательно, высота призмы $h_{пр} = 1$ см.

Таким образом, высота цилиндра $H$ также равна 1 см.

$H = h_{пр} = 1$ см.

2. Найдем радиус основания цилиндра $R$.

Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу окружности, описанной около правильного шестиугольника, который является основанием призмы. Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне $a$.

$R = a$

Так как по условию сторона основания призмы $a = 1$ см, то и радиус основания цилиндра $R$ равен 1 см.

$R = 1$ см.

3. Сделаем рисунок.

На рисунке изображен цилиндр, в который вписана правильная шестиугольная призма. Основания призмы - правильные шестиугольники - вписаны в окружности, являющиеся основаниями цилиндра. Высоты призмы и цилиндра совпадают. Радиус $R$ основания цилиндра является радиусом окружности, описанной около шестиугольника в основании, и равен стороне этого шестиугольника $a$.

Ответ: радиус основания цилиндра равен 1 см, высота цилиндра равна 1 см.

18.12. Найдите радиус основания и высоту цилиндра, вписанного в правильную шестиугольную призму, ребра которой равны 1 см.

Сделайте рисунок.

Дано:

Правильная шестиугольная призма.

Ребро основания призмы: $a = 1$ см.

Высота призмы (боковое ребро): $H_{призмы} = 1$ см.

В призму вписан цилиндр.

Найти:

Высоту цилиндра $h_{цил}$

Радиус основания цилиндра $r_{цил}$

Решение:

1. Нахождение высоты цилиндра

По определению, цилиндр, вписанный в призму, имеет высоту, равную высоте призмы. Основания цилиндра лежат в плоскостях оснований призмы.

Высота правильной призмы равна длине ее бокового ребра. Согласно условию, все ребра призмы равны 1 см.

Следовательно, высота цилиндра $h_{цил}$ равна высоте призмы:

$h_{цил} = H_{призмы} = 1$ см.

2. Нахождение радиуса основания цилиндра

Основание вписанного цилиндра — это окружность, вписанная в основание призмы, которое является правильным шестиугольником. Сторона этого шестиугольника $a = 1$ см.

Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен апофеме этого шестиугольника (расстоянию от центра до середины стороны).

Правильный шестиугольник можно разделить на 6 равносторонних треугольников, сторона каждого из которых равна стороне шестиугольника $a$. Радиус вписанной окружности $r_{цил}$ является высотой одного из этих равносторонних треугольников.

Найдем высоту $h_{\triangle}$ равностороннего треугольника со стороной $a = 1$ см по теореме Пифагора. Высота, проведенная к основанию, делит его на два равных отрезка по $a/2$.

$r_{цил}^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2$

$r_{цил}^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}$

$r_{цил} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение $a = 1$ см:

$r_{цил} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

3. Рисунок

Для наглядности представим два вида: объемное изображение и вид сверху.

Объемное изображение: Изображается правильная шестиугольная призма. Ее основаниями являются два равных и параллельных правильных шестиугольника. Боковые грани – шесть равных прямоугольников, перпендикулярных основаниям. Внутри призмы располагается цилиндр. Его верхнее и нижнее основания (окружности) вписаны в шестиугольные основания призмы. Боковая поверхность цилиндра касается всех шести боковых граней призмы.

Вид сверху: Изображается правильный шестиугольник (основание призмы). В него вписана окружность (основание цилиндра). Радиус этой окружности $r_{цил}$ перпендикулярен одной из сторон шестиугольника и соединяет центр с точкой касания.

Ответ:

Радиус основания цилиндра $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см, высота цилиндра $h = 1$ см.

18.13. Боковое ребро правильной пирамиды равно 1 см и образует угол:

а) $30^\circ$;

б) $45^\circ$;

в) $60^\circ$ с плоскостью основания этой пирамиды.

Найдите радиус конуса, описанного около этой пирамиды.

Дано:

Правильная пирамида.

Боковое ребро $L = 1$ см.

Угол $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания.

Перевод в систему СИ:

$L = 0.01$ м.

Найти:

Радиус $R$ основания конуса, описанного около пирамиды, для каждого из углов: а) $30^\circ$; б) $45^\circ$; в) $60^\circ$.

Решение:

Конус, описанный около правильной пирамиды, имеет общую вершину и высоту с пирамидой. Боковое ребро пирамиды $L$ является образующей конуса. Основание конуса — это окружность, описанная около многоугольника в основании пирамиды. Радиус $R$ этой окружности является радиусом основания конуса.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом основания описанного конуса $R$ и боковым ребром пирамиды $L$. В этом треугольнике $L$ является гипотенузой, а $R$ и $H$ — катетами. Угол $\alpha$ между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между гипотенузой $L$ и прилежащим к нему катетом $R$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\alpha) = \frac{R}{L}$

Отсюда выражаем искомый радиус:

$R = L \cdot \cos(\alpha)$

Подставим значение $L=1$ см и найдём радиус для каждого из заданных углов.

а) 30°

При $\alpha = 30^\circ$ радиус равен:

$R = 1 \cdot \cos(30^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

б) 45°

При $\alpha = 45^\circ$ радиус равен:

$R = 1 \cdot \cos(45^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

в) 60°

При $\alpha = 60^\circ$ радиус равен:

$R = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = 0,5$ см.

Ответ: $0,5$ см.