Страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Какая призма называется описанной в цилиндр?

2. Около какой призмы можно описать цилиндр?

3. Какая призма называется описанной около цилиндра?

4. В какую призму можно вписать цилиндр?

5. Какая пирамида называется описанной в конус?

6. Около какой пирамиды можно описать конус?

7. Какая пирамида называется описанной около конуса?

8. В какую пирамиду можно вписать конус?

1. Какая призма называется вписанной в цилиндр?
Призма называется вписанной в цилиндр, если её основания являются многоугольниками, вписанными в окружности оснований цилиндра. Это означает, что все вершины оснований призмы лежат на этих окружностях.
Ответ: Призма, основания которой вписаны в основания цилиндра.

2. Около какой призмы можно описать цилиндр?
Цилиндр можно описать около прямой призмы, если её основание — многоугольник, который можно вписать в окружность (вписанный многоугольник). Ось цилиндра будет соединять центры окружностей, описанных около оснований.
Ответ: Около прямой призмы, основание которой является вписанным многоугольником.

3. Какая призма называется описанной около цилиндра?
Призма называется описанной около цилиндра, если её боковые грани касаются боковой поверхности цилиндра, а её основания являются многоугольниками, описанными около окружностей оснований цилиндра.
Ответ: Призма, боковые грани которой касаются цилиндра, а основания описаны около оснований цилиндра.

4. В какую призму можно вписать цилиндр?
Цилиндр можно вписать в прямую призму, если в её основание можно вписать окружность (основание — описанный многоугольник). Высота цилиндра будет равна высоте призмы, а его основания будут касаться боковых граней призмы.
Ответ: В прямую призму, основание которой является описанным многоугольником.

5. Какая пирамида называется вписанной в конус?
Пирамида называется вписанной в конус, если её основание является многоугольником, вписанным в окружность основания конуса, а её вершина совпадает с вершиной конуса.
Ответ: Пирамида, основание которой вписано в основание конуса, а их вершины совпадают.

6. Около какой пирамиды можно описать конус?
Конус можно описать около пирамиды, если её основание является многоугольником, вписанным в окружность, и вершина пирамиды проецируется в центр этой окружности.
Ответ: Около пирамиды, основание которой — вписанный многоугольник, а вершина проецируется в центр описанной окружности.

7. Какая пирамида называется описанной около конуса?
Пирамида называется описанной около конуса, если её основание — многоугольник, описанный около окружности основания конуса, вершина пирамиды совпадает с вершиной конуса, а плоскости боковых граней касаются боковой поверхности конуса.
Ответ: Пирамида, основание которой описано около основания конуса, их вершины совпадают, а боковые грани касаются конуса.

8. В какую пирамиду можно вписать конус?
Конус можно вписать в пирамиду, если в её основание можно вписать окружность (основание — описанный многоугольник) и вершина пирамиды проецируется в центр этой вписанной окружности. Это также означает, что все апофемы пирамиды (высоты боковых граней, проведённые из вершины) равны.
Ответ: В пирамиду, в основание которой можно вписать окружность, а вершина проецируется в центр этой окружности.

18.1. Можно ли описать цилиндр около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда; г) прямой треугольной призмы; д) правильной $n$-угольной призмы?

114

Цилиндр можно описать около призмы тогда и только тогда, когда все вершины призмы лежат на поверхности цилиндра (на его основаниях и боковой поверхности). Это возможно при выполнении двух условий:

1. Призма должна быть прямой. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Ось описанного цилиндра будет перпендикулярна его основаниям и будет проходить через центры окружностей, описанных около оснований призмы.

2. Около основания призмы можно описать окружность. Все вершины каждого из оснований призмы должны лежать на одной окружности, которая и будет являться основанием цилиндра.

Рассмотрим каждый из предложенных случаев с учётом этих условий.

а) куба

Куб является прямой призмой, так как его боковые грани — квадраты, а значит, боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Основание куба — квадрат. Около любого квадрата можно описать окружность (центр в точке пересечения диагоналей). Следовательно, оба условия выполняются.

Ответ: да, можно.

б) прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это прямая призма, у которой в основании лежит прямоугольник. Около любого прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей. Таким образом, оба условия выполнены.

Ответ: да, можно.

в) наклонного параллелепипеда

Наклонный параллелепипед не является прямой призмой, так как его боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. Если вершины нижнего основания лежат на окружности основания цилиндра, то вершины верхнего основания, будучи смещёнными в сторону, не будут лежать на окружности второго основания цилиндра и на его боковой поверхности. Следовательно, описать цилиндр около наклонного параллелепипеда в общем случае нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

г) прямой треугольной призмы

Призма является прямой по условию. Основанием является треугольник. Около любого треугольника можно описать окружность (её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам). Следовательно, оба условия выполняются для любой прямой треугольной призмы.

Ответ: да, можно.

д) правильной n-угольной призмы

Правильная призма по определению является прямой призмой. В её основании лежит правильный $n$-угольник. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Таким образом, оба условия выполняются.

Ответ: да, можно.