Номер 18.1, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

18.1. Можно ли описать цилиндр около: а) куба; б) прямоугольного параллелепипеда; в) наклонного параллелепипеда; г) прямой треугольной призмы; д) правильной $n$-угольной призмы?

114

Цилиндр можно описать около призмы тогда и только тогда, когда все вершины призмы лежат на поверхности цилиндра (на его основаниях и боковой поверхности). Это возможно при выполнении двух условий:

1. Призма должна быть прямой. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Ось описанного цилиндра будет перпендикулярна его основаниям и будет проходить через центры окружностей, описанных около оснований призмы.

2. Около основания призмы можно описать окружность. Все вершины каждого из оснований призмы должны лежать на одной окружности, которая и будет являться основанием цилиндра.

Рассмотрим каждый из предложенных случаев с учётом этих условий.

а) куба

Куб является прямой призмой, так как его боковые грани — квадраты, а значит, боковые рёбра перпендикулярны основаниям. Основание куба — квадрат. Около любого квадрата можно описать окружность (центр в точке пересечения диагоналей). Следовательно, оба условия выполняются.

Ответ: да, можно.

б) прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед — это прямая призма, у которой в основании лежит прямоугольник. Около любого прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Центр окружности лежит на пересечении диагоналей. Таким образом, оба условия выполнены.

Ответ: да, можно.

в) наклонного параллелепипеда

Наклонный параллелепипед не является прямой призмой, так как его боковые рёбра не перпендикулярны основаниям. Если вершины нижнего основания лежат на окружности основания цилиндра, то вершины верхнего основания, будучи смещёнными в сторону, не будут лежать на окружности второго основания цилиндра и на его боковой поверхности. Следовательно, описать цилиндр около наклонного параллелепипеда в общем случае нельзя.

Ответ: нет, нельзя.

г) прямой треугольной призмы

Призма является прямой по условию. Основанием является треугольник. Около любого треугольника можно описать окружность (её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам). Следовательно, оба условия выполняются для любой прямой треугольной призмы.

Ответ: да, можно.

д) правильной n-угольной призмы

Правильная призма по определению является прямой призмой. В её основании лежит правильный $n$-угольник. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. Таким образом, оба условия выполняются.

Ответ: да, можно.