Номер 16, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16. Наименьшее и наибольшее расстояние от данной точки, расположенной внутри сферы, до точек сферы равны соответственно 4 см и 6 см. Найдите радиус сферы:

А) 2 см;

В) 3 см;

С) 4 см;

D) 5 см.

Дано:

Наименьшее расстояние от точки до сферы, $d_{min} = 4$ см.
Наибольшее расстояние от точки до сферы, $d_{max} = 6$ см.

$d_{min} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$d_{max} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы, $R$.

Решение:

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Пусть $P$ — данная точка, расположенная внутри сферы.Наименьшее и наибольшее расстояния от точки $P$ до поверхности сферы будут лежать на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и саму точку $P$. Эта прямая пересекает сферу в двух точках, $A$ и $B$, которые являются концами одного из диаметров сферы.

Пусть расстояние от центра сферы до точки $P$ равно $d$ (то есть $d = OP$).Тогда наименьшее расстояние от точки $P$ до сферы, $d_{min}$, будет равно расстоянию до ближайшей точки на сфере (пусть это точка $A$). Это расстояние вычисляется как разность радиуса и расстояния от центра до точки $P$:
$d_{min} = R - d$

Наибольшее расстояние от точки $P$ до сферы, $d_{max}$, будет равно расстоянию до самой дальней точки на сфере (пусть это точка $B$). Это расстояние вычисляется как сумма радиуса и расстояния от центра до точки $P$:
$d_{max} = R + d$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $R$ и $d$:
$R - d = 4$
$R + d = 6$

Сложив эти два уравнения, мы можем найти удвоенный радиус $2R$:
$(R - d) + (R + d) = 4 + 6$
$2R = 10$

Из этого следует, что диаметр сферы равен сумме наименьшего и наибольшего расстояний. Теперь найдем радиус $R$:
$R = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.