Страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13. Радиус сферы равен 4 см. Расстояние от точки до центра сферы равно 5 см. Найдите длину отрезка касательной, проведенной через данную точку к данной сфере:

А) 1 см;

В) 2 см;

С) 3 см;

D) 4 см.

Дано:

Радиус сферы, $R = 4$ см.

Расстояние от точки до центра сферы, $d = 5$ см.

Перевод в систему СИ:

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$d = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длину отрезка касательной, $L$.

Решение:

Рассмотрим геометрическую конфигурацию. Пусть O — центр сферы, A — данная точка, из которой проведена касательная, и T — точка касания на сфере. Тогда отрезок OT — это радиус сферы, OA — расстояние от точки A до центра O, а AT — искомый отрезок касательной.

По свойству касательной к сфере, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, треугольник OTA является прямоугольным, с прямым углом при вершине T ($\angle OTA = 90^\circ$).

В этом прямоугольном треугольнике:

• катет OT равен радиусу сферы: $OT = R = 4$ см.

• гипотенуза OA равна расстоянию от точки до центра сферы: $OA = d = 5$ см.

• катет AT — это искомая длина отрезка касательной: $AT = L$.

Применим теорему Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$OA^2 = OT^2 + AT^2$

Выразим из этой формулы квадрат длины искомого катета AT:

$AT^2 = OA^2 - OT^2$

Подставим известные числовые значения (для удобства вычислений используем сантиметры):

$L^2 = 5^2 - 4^2$

$L^2 = 25 - 16$

$L^2 = 9$

Чтобы найти длину L, извлечем квадратный корень из полученного значения:

$L = \sqrt{9} = 3$ см.

Длина отрезка касательной равна 3 см, что соответствует варианту C).

Ответ: 3 см.

14. Шар радиусом 2 см пересечен плоскостью, отстоящей от центра шара на 1 см. Найдите площадь круга, получившегося в сечении:

A) $\pi \text{ см}^2$;

B) $2\pi \text{ см}^2$;

C) $3\pi \text{ см}^2$;

D) $4\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Радиус шара $R = 2$ см

Расстояние от центра шара до плоскости сечения $d = 1$ см

Найти:

Площадь круга в сечении $S$

Решение:

При пересечении шара плоскостью в сечении образуется круг. Радиус этого круга $r$, расстояние от центра шара до секущей плоскости $d$ и радиус самого шара $R$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а расстояние $d$ и радиус сечения $r$ — катетами.

По теореме Пифагора имеем соотношение:

$R^2 = d^2 + r^2$

Площадь круга, получившегося в сечении, вычисляется по формуле:

$S = \pi r^2$

Сначала найдем квадрат радиуса круга в сечении ($r^2$), выразив его из теоремы Пифагора:

$r^2 = R^2 - d^2$

Подставим известные значения $R = 2$ см и $d = 1$ см:

$r^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3 \text{ (см}^2\text{)}$

Теперь подставим найденное значение $r^2$ в формулу для площади круга:

$S = \pi \cdot 3 = 3\pi \text{ (см}^2\text{)}$

Этот результат соответствует варианту ответа C).

Ответ: $3\pi \text{ см}^2$.

15. Радиус шара равен 6 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом $60^\circ$ к нему. Найдите площадь сечения:

A) $3\pi \text{ см}^2$;

B) $6\pi \text{ см}^2$;

C) $9\pi \text{ см}^2$;

D) $12\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Радиус шара $R = 6 \text{ см}$.

Угол между радиусом и секущей плоскостью $\alpha = 60^\circ$.

Найти:

Площадь сечения $S$.

Решение:

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Площадь этого круга $S$ вычисляется по формуле $S = \pi r^2$, где $r$ — радиус круга сечения.

Для нахождения радиуса сечения $r$ рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом шара $R$, радиусом сечения $r$ и расстоянием $d$ от центра шара до плоскости сечения. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а радиус сечения $r$ и расстояние $d$ — катетами.

Угол между радиусом шара $R$ и плоскостью сечения, равный $\alpha = 60^\circ$, является углом между гипотенузой $R$ и прилежащим к ней катетом $r$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике имеем:

$\cos(\alpha) = \frac{r}{R}$

Отсюда выразим радиус сечения $r$:

$r = R \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

$R = 6 \text{ см}$

$\alpha = 60^\circ$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Вычислим радиус сечения:

$r = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ см}$

Теперь, зная радиус сечения, найдем его площадь:

$S = \pi r^2 = \pi \cdot (3)^2 = 9\pi \text{ см}^2$

Ответ: $9\pi \text{ см}^2$.

16. Наименьшее и наибольшее расстояние от данной точки, расположенной внутри сферы, до точек сферы равны соответственно 4 см и 6 см. Найдите радиус сферы:

А) 2 см;

В) 3 см;

С) 4 см;

D) 5 см.

Дано:

Наименьшее расстояние от точки до сферы, $d_{min} = 4$ см.
Наибольшее расстояние от точки до сферы, $d_{max} = 6$ см.

$d_{min} = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$d_{max} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$

Найти:

Радиус сферы, $R$.

Решение:

Пусть $O$ — центр сферы, а $R$ — ее радиус. Пусть $P$ — данная точка, расположенная внутри сферы.Наименьшее и наибольшее расстояния от точки $P$ до поверхности сферы будут лежать на прямой, проходящей через центр сферы $O$ и саму точку $P$. Эта прямая пересекает сферу в двух точках, $A$ и $B$, которые являются концами одного из диаметров сферы.

Пусть расстояние от центра сферы до точки $P$ равно $d$ (то есть $d = OP$).Тогда наименьшее расстояние от точки $P$ до сферы, $d_{min}$, будет равно расстоянию до ближайшей точки на сфере (пусть это точка $A$). Это расстояние вычисляется как разность радиуса и расстояния от центра до точки $P$:
$d_{min} = R - d$

Наибольшее расстояние от точки $P$ до сферы, $d_{max}$, будет равно расстоянию до самой дальней точки на сфере (пусть это точка $B$). Это расстояние вычисляется как сумма радиуса и расстояния от центра до точки $P$:
$d_{max} = R + d$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $R$ и $d$:
$R - d = 4$
$R + d = 6$

Сложив эти два уравнения, мы можем найти удвоенный радиус $2R$:
$(R - d) + (R + d) = 4 + 6$
$2R = 10$

Из этого следует, что диаметр сферы равен сумме наименьшего и наибольшего расстояний. Теперь найдем радиус $R$:
$R = \frac{10}{2} = 5$ см.

Ответ: 5 см.

17. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны 6 см и 8 см. Найдите радиус описанной сферы:

А) 5 см; В) 6 см; С) 8 см; D) 10 см.

Дано:

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник.

Сторона 1 прямоугольника, $a = 6 \text{ см}$

Сторона 2 прямоугольника, $b = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 0.06 \text{ м}$

$b = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R$ - ?

Решение:

Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, проходящий через ось цилиндра. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте цилиндра ($h$), а другая — диаметру его основания ($d$). Таким образом, стороны нашего прямоугольника равны $h$ и $d$. Неважно, какая из сторон (6 см или 8 см) является высотой, а какая — диаметром, так как для нахождения радиуса описанной сферы нам понадобится диагональ этого прямоугольника.

Сфера, описанная около цилиндра, — это сфера, которая касается обоих оснований цилиндра по их окружностям. Центр такой сферы совпадает с центром симметрии цилиндра (серединой его оси). Диаметр описанной сферы равен диагонали осевого сечения цилиндра.

Найдем диагональ $D$ прямоугольника по теореме Пифагора. Стороны прямоугольника $a=6 \text{ см}$ и $b=8 \text{ см}$ являются катетами, а диагональ $D$ — гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном этими сторонами.

$D^2 = a^2 + b^2$

Подставим значения сторон:

$D^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

$D = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$

Диагональ осевого сечения равна 10 см. Следовательно, диаметр описанной сферы $D_{сферы}$ также равен 10 см.

$D_{сферы} = 10 \text{ см}$

Радиус сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D_{сферы}}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ см}$

Ответ: 5 см.

18. Найдите радиус сферы, вписанной в конус, осевым сечением которого является правильный треугольник со стороной равной 2 см:

A) 1 см;

B) $\sqrt{2}$ см;

C) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ см;

D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Дано:

Конус, в который вписана сфера.

Осевое сечение конуса - правильный (равносторонний) треугольник.

Сторона треугольника $a = 2$ см.

Перевод в СИ:

Сторона треугольника $a = 0.02$ м.

Найти:

Радиус вписанной сферы, $r$.

Решение:

Осевое сечение конуса, в который вписана сфера, представляет собой равносторонний треугольник с вписанной в него окружностью. Радиус этой вписанной окружности равен радиусу $r$ вписанной в конус сферы.

По условию, осевое сечение является правильным треугольником со стороной $a = 2$ см.

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, можно найти несколькими способами.

Способ 1: Через высоту треугольника

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности (инцентр) совпадает с точкой пересечения высот, медиан и биссектрис. Эта точка делит высоту в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус вписанной окружности равен меньшей части, то есть одной трети высоты треугольника.

Сначала найдем высоту $h$ равностороннего треугольника со стороной $a = 2$ см. Формула высоты равностороннего треугольника:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$, который составляет $1/3$ от высоты:

$r = \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Способ 2: Через формулу площади

Радиус вписанной в любой треугольник окружности можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

Найдем полупериметр $p$ для нашего треугольника:

$p = \frac{a+a+a}{2} = \frac{3a}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Найдем площадь $S$ равностороннего треугольника по формуле:

$S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 2$ см:

$S = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$ см$^2$.

Теперь вычислим радиус $r$:

$r = \frac{S}{p} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

19. Найдите площадь сферы радиусом 2 см:

A) $12\pi \text{ см}^2$;

B) $14\pi \text{ см}^2$;

C) $16\pi \text{ см}^2$;

D) $18\pi \text{ см}^2$.

Дано:

Радиус сферы: $R = 2 \text{ см}$

В системе СИ:

$R = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь сферы $S$.

Решение:

Площадь поверхности сферы вычисляется по формуле:

$S = 4\pi R^2$

где $S$ — площадь сферы, а $R$ — ее радиус.

Подставим в формулу значение радиуса, данное в условии задачи, $R = 2 \text{ см}$:

$S = 4 \cdot \pi \cdot (2 \text{ см})^2 = 4 \cdot \pi \cdot 4 \text{ см}^2 = 16\pi \text{ см}^2$

Таким образом, площадь сферы равна $16\pi \text{ см}^2$. Этот результат соответствует варианту C).

Ответ: $16\pi \text{ см}^2$.

20. Радиус шара равен 3 см. Найдите площадь боковой поверхности шарового пояса, высота которого равна 2 см:

А) $6\pi \text{ cm}^2$;

В) $8\pi \text{ cm}^2$;

С) $10\pi \text{ cm}^2$;

D) $12\pi \text{ cm}^2$.

Дано

Радиус шара $R = 3$ см
Высота шарового пояса $h = 2$ см

Перевод в систему СИ:
$R = 0,03$ м
$h = 0,02$ м

Найти:

Площадь боковой поверхности шарового пояса $S_{бок}$ - ?

Решение

Площадь боковой поверхности шарового пояса (также известная как площадь сферического пояса) находится по формуле:
$S_{бок} = 2 \pi R h$,
где $R$ – радиус шара, а $h$ – высота шарового пояса.
Подставим в формулу значения, данные в условии задачи, поскольку варианты ответа представлены в см²:
$R = 3$ см
$h = 2$ см
Выполним вычисления:
$S_{бок} = 2 \cdot \pi \cdot 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 12\pi \text{ см}^2$
Среди предложенных вариантов ответа:
A) 6π см²;
B) 8π см²;
C) 10π см²;
D) 12π см².
Полученный результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $12\pi$ см².