Страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

Докажите, что площадь сферы равна площади боковой поверхности цилиндра, описанного около этой сферы.

Дано:

Имеется сфера произвольного радиуса $R$.
Вокруг этой сферы описан цилиндр.

Найти:

Требуется доказать, что площадь поверхности сферы ($S_{сферы}$) равна площади боковой поверхности описанного около нее цилиндра ($S_{бок. цил.}$).

Решение:

1. Площадь поверхности сферы радиуса $R$ вычисляется по известной формуле: $S_{сферы} = 4\pi R^2$

2. Теперь рассмотрим цилиндр, описанный около данной сферы. Условие, что цилиндр описан около сферы, означает, что сфера касается обоих оснований цилиндра (верхнего и нижнего) и его боковой поверхности по всей окружности. Из этого следуют два важных факта о параметрах цилиндра:
- Радиус основания цилиндра ($r_{цил}$) должен быть равен радиусу сферы ($R$).
$r_{цил} = R$
- Высота цилиндра ($h_{цил}$) должна быть равна диаметру сферы, то есть двум ее радиусам.
$h_{цил} = 2R$

3. Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра имеет вид:
$S_{бок. цил.} = 2\pi r h$, где $r$ — радиус основания, а $h$ — высота цилиндра.

4. Подставим в эту формулу найденные ранее параметры описанного цилиндра: $r_{цил} = R$ и $h_{цил} = 2R$.
$S_{бок. цил.} = 2\pi \cdot (R) \cdot (2R) = 4\pi R^2$

5. Сравним полученное выражение для площади боковой поверхности цилиндра с формулой для площади сферы:
$S_{сферы} = 4\pi R^2$
$S_{бок. цил.} = 4\pi R^2$
Следовательно, $S_{сферы} = S_{бок. цил.}$.

Утверждение доказано.

Ответ: Площадь сферы радиуса $R$ составляет $S_{сферы} = 4\pi R^2$. Для описанного цилиндра радиус основания равен $R$, а высота равна $2R$. Площадь его боковой поверхности равна $S_{бок. цил.} = 2\pi \cdot R \cdot 2R = 4\pi R^2$. Так как оба выражения равны, доказано, что площадь сферы равна площади боковой поверхности описанного около нее цилиндра.