Страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.25. Как расположены между собой сфера, заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, и плоскость, заданная уравнением:

a) $x + y + z = \sqrt{2}$;

б) $x + y + z = \sqrt{3}$;

в) $x + y + z = 2?

Дано:

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$

Уравнения плоскостей:

а) $x + y + z = \sqrt{2}$

б) $x + y + z = \sqrt{3}$

в) $x + y + z = 2$

Найти:

Определить взаимное расположение сферы и каждой из плоскостей.

Решение:

Чтобы определить взаимное расположение сферы и плоскости, нужно сравнить расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) с радиусом сферы ($R$).

Возможны три случая:

1. Если $d < R$, плоскость пересекает сферу по окружности.

2. Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке.

3. Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек (не пересекаются).

Сначала определим параметры сферы. Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ — это каноническое уравнение сферы вида $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$. Из сравнения уравнений следует, что центр сферы — точка $O(0; 0; 0)$, а её радиус $R = \sqrt{1} = 1$.

Далее, найдем расстояние от центра сферы $O(0; 0; 0)$ до каждой из плоскостей. Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Поскольку центр сферы — это начало координат $O(0; 0; 0)$, формула для нашего случая упрощается до:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для всех трех заданных плоскостей вида $x + y + z = k$ (или $1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z - k = 0$) коэффициенты при переменных одинаковы: $A=1$, $B=1$, $C=1$. Знаменатель в формуле расстояния для всех трех случаев будет одинаковым:

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Уравнение плоскости: $x + y + z = \sqrt{2}$, или в общем виде $x + y + z - \sqrt{2} = 0$.

Здесь $D = -\sqrt{2}$. Вычисляем расстояние $d_а$ от центра сферы до этой плоскости:

$d_а = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Сравним $d_а$ с радиусом $R=1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, следовательно, $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} < 1$.

Поскольку $d_а < R$, плоскость пересекает сферу.

Ответ: Плоскость пересекает сферу.

б) Уравнение плоскости: $x + y + z = \sqrt{3}$, или в общем виде $x + y + z - \sqrt{3} = 0$.

Здесь $D = -\sqrt{3}$. Вычисляем расстояние $d_б$ от центра сферы до этой плоскости:

$d_б = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$

Сравним $d_б$ с радиусом $R=1$.

$d_б = R = 1$.

Поскольку расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, плоскость касается сферы.

Ответ: Плоскость касается сферы.

в) Уравнение плоскости: $x + y + z = 2$, или в общем виде $x + y + z - 2 = 0$.

Здесь $D = -2$. Вычисляем расстояние $d_в$ от центра сферы до этой плоскости:

$d_в = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Сравним $d_в$ с радиусом $R=1$. Так как $2 > \sqrt{3}$ (потому что $2^2=4$, а $(\sqrt{3})^2=3$), то $\frac{2}{\sqrt{3}} > 1$.

Поскольку $d_в > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Ответ: Плоскость и сфера не пересекаются.

15.26. Повторите определения окружностей, вписанных и описанных около прямоугольника, треугольника, трапеции; формулы для нахождения их радиусов.

Окружность, описанная около прямоугольника

Окружность называется описанной около многоугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей.

Формула для нахождения радиуса:

Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали $d$. Если $a$ и $b$ — стороны прямоугольника, то радиус вычисляется по формуле: $R = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Ответ: Окружность, проходящая через все вершины прямоугольника. Центр — точка пересечения диагоналей. Радиус $R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$.

Окружность, вписанная в прямоугольник

Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. В прямоугольник можно вписать окружность только в том случае, если он является квадратом (то есть его смежные стороны равны).

Формула для нахождения радиуса:

Если $a$ — сторона квадрата, то радиус $r$ вписанной окружности равен половине его стороны: $r = \frac{a}{2}$.

Ответ: Окружность, касающаяся всех сторон прямоугольника. Существует только для квадрата. Радиус $r = \frac{a}{2}$.

Окружность, описанная около треугольника

Окружность, проходящая через все три вершины треугольника, называется описанной. Около любого треугольника можно описать окружность, причём только одну. Её центр — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Формулы для нахождения радиуса:

1. Через стороны $a, b, c$ и площадь $S$: $R = \frac{abc}{4S}$.
2. Через сторону $a$ и противолежащий угол $\alpha$ (следствие из теоремы синусов): $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$.
3. Для прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$: $R = \frac{c}{2}$.
4. Для равностороннего треугольника со стороной $a$: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Ответ: Окружность, проходящая через все три вершины треугольника. Центр — точка пересечения серединных перпендикуляров. Формулы радиуса: $R = \frac{abc}{4S}$ или $R = \frac{a}{2\sin\alpha}$.

Окружность, вписанная в треугольник

Окружность, касающаяся всех трёх сторон треугольника, называется вписанной. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Её центр — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Формулы для нахождения радиуса:

1. Через площадь $S$ и полупериметр $p = \frac{a+b+c}{2}$: $r = \frac{S}{p}$.
2. Для прямоугольного треугольника с катетами $a, b$ и гипотенузой $c$: $r = \frac{a+b-c}{2}$.
3. Для равностороннего