Номер 15.25, страница 99 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.25. Как расположены между собой сфера, заданная уравнением $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, и плоскость, заданная уравнением:

a) $x + y + z = \sqrt{2}$;

б) $x + y + z = \sqrt{3}$;

в) $x + y + z = 2?

Дано:

Уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 = 1$

Уравнения плоскостей:

а) $x + y + z = \sqrt{2}$

б) $x + y + z = \sqrt{3}$

в) $x + y + z = 2$

Найти:

Определить взаимное расположение сферы и каждой из плоскостей.

Решение:

Чтобы определить взаимное расположение сферы и плоскости, нужно сравнить расстояние от центра сферы до плоскости ($d$) с радиусом сферы ($R$).

Возможны три случая:

1. Если $d < R$, плоскость пересекает сферу по окружности.

2. Если $d = R$, плоскость касается сферы в одной точке.

3. Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек (не пересекаются).

Сначала определим параметры сферы. Уравнение $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ — это каноническое уравнение сферы вида $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2$. Из сравнения уравнений следует, что центр сферы — точка $O(0; 0; 0)$, а её радиус $R = \sqrt{1} = 1$.

Далее, найдем расстояние от центра сферы $O(0; 0; 0)$ до каждой из плоскостей. Расстояние от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Поскольку центр сферы — это начало координат $O(0; 0; 0)$, формула для нашего случая упрощается до:

$d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для всех трех заданных плоскостей вида $x + y + z = k$ (или $1 \cdot x + 1 \cdot y + 1 \cdot z - k = 0$) коэффициенты при переменных одинаковы: $A=1$, $B=1$, $C=1$. Знаменатель в формуле расстояния для всех трех случаев будет одинаковым:

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно.

а) Уравнение плоскости: $x + y + z = \sqrt{2}$, или в общем виде $x + y + z - \sqrt{2} = 0$.

Здесь $D = -\sqrt{2}$. Вычисляем расстояние $d_а$ от центра сферы до этой плоскости:

$d_а = \frac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Сравним $d_а$ с радиусом $R=1$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $\sqrt{2} < \sqrt{3}$, следовательно, $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} < 1$.

Поскольку $d_а < R$, плоскость пересекает сферу.

Ответ: Плоскость пересекает сферу.

б) Уравнение плоскости: $x + y + z = \sqrt{3}$, или в общем виде $x + y + z - \sqrt{3} = 0$.

Здесь $D = -\sqrt{3}$. Вычисляем расстояние $d_б$ от центра сферы до этой плоскости:

$d_б = \frac{|-\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$

Сравним $d_б$ с радиусом $R=1$.

$d_б = R = 1$.

Поскольку расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, плоскость касается сферы.

Ответ: Плоскость касается сферы.

в) Уравнение плоскости: $x + y + z = 2$, или в общем виде $x + y + z - 2 = 0$.

Здесь $D = -2$. Вычисляем расстояние $d_в$ от центра сферы до этой плоскости:

$d_в = \frac{|-2|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Сравним $d_в$ с радиусом $R=1$. Так как $2 > \sqrt{3}$ (потому что $2^2=4$, а $(\sqrt{3})^2=3$), то $\frac{2}{\sqrt{3}} > 1$.

Поскольку $d_в > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Ответ: Плоскость и сфера не пересекаются.