Номер 16.3, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.3. Около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1 см, описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Радиус основания цилиндра, $r_{цил} = 1$ см.

Высота цилиндра, $h_{цил} = 1$ см.

$r_{цил} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_{цил} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R_{сф}$.

Решение:

Так как сфера описана около цилиндра, окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы будет совпадать с центром цилиндра, который расположен на середине его оси (высоты).

Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, а осевым сечением сферы — большой круг, который описан около этого прямоугольника. Диаметр этого круга является диагональю прямоугольника.

Стороны прямоугольника, полученного в сечении, равны высоте цилиндра $h_{цил}$ и диаметру его основания $d_{цил}$.

Вычислим стороны прямоугольника:

Высота прямоугольника: $h_{цил} = 1$ см.

Ширина прямоугольника (диаметр основания цилиндра): $d_{цил} = 2 \cdot r_{цил} = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Радиус описанной сферы $R_{сф}$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r_{цил}$ и половина высоты цилиндра $\frac{h_{цил}}{2}$. Этот треугольник образуется радиусом сферы, радиусом основания цилиндра и отрезком, соединяющим центр сферы с центром основания цилиндра.

Согласно теореме Пифагора:

$R_{сф}^2 = r_{цил}^2 + \left(\frac{h_{цил}}{2}\right)^2$

Подставим числовые значения в формулу:

$R_{сф}^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = 1 + 0.25 = 1.25$

Теперь найдем радиус сферы, извлекая квадратный корень:

$R_{сф} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ см.