Номер 16.7, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.7. Найдите площадь поверхности цилиндра, описанного около сферы радиусом 1 см.

Дано:

Радиус сферы, $R_{\text{сферы}} = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$R_{\text{сферы}} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Площадь полной поверхности описанного цилиндра, $S_{\text{цил}}$.

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется как сумма площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

$S_{\text{цил}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}}$

Площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $h$ равна $S_{\text{бок}} = 2 \pi R h$.

Площадь одного основания равна $S_{\text{осн}} = \pi R^2$.

Следовательно, формула полной поверхности цилиндра имеет вид:

$S_{\text{цил}} = 2 \pi R h + 2 \pi R^2 = 2 \pi R (h + R)$.

По условию, цилиндр описан около сферы. Это означает, что сфера вписана в цилиндр и касается его оснований (верхнего и нижнего) и боковой поверхности. Из этого следует:

1. Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу сферы $R_{\text{сферы}}$:

$R = R_{\text{сферы}} = 1$ см.

2. Высота цилиндра $h$ равна диаметру сферы, то есть двум радиусам сферы:

$h = 2 \cdot R_{\text{сферы}} = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2$ см.

Теперь подставим найденные значения радиуса $R$ и высоты $h$ в формулу площади полной поверхности цилиндра:

$S_{\text{цил}} = 2 \pi R (h + R) = 2 \pi \cdot 1 \cdot (2 + 1) = 2 \pi \cdot 3 = 6 \pi \text{ см}^2$.

Для проверки можно также выразить площадь поверхности цилиндра через радиус вписанной сферы. Подставив $R = R_{\text{сферы}}$ и $h = 2R_{\text{сферы}}$ в общую формулу, получим:

$S_{\text{цил}} = 2 \pi R_{\text{сферы}} (2R_{\text{сферы}} + R_{\text{сферы}}) = 2 \pi R_{\text{сферы}} (3R_{\text{сферы}}) = 6 \pi R_{\text{сферы}}^2$.

Подставляя значение $R_{\text{сферы}} = 1$ см:

$S_{\text{цил}} = 6 \pi (1)^2 = 6 \pi \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \pi \text{ см}^2$.