Номер 16.12, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.12. Выразите радиус $R$ сферы, вписанной в конус, через его высоту $h$ и радиус $r$ окружности основания.

Дано:

Высота конуса: $h$

Радиус основания конуса: $r$

Радиус вписанной сферы: $R$

Найти:

Выразить $R$ через $h$ и $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписана сфера. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, основание равно диаметру основания конуса $2r$, а боковые стороны равны образующей конуса $l$. Радиус вписанной в этот треугольник окружности равен радиусу сферы $R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник.

Сначала найдем длину образующей конуса $l$ по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$:

$l^2 = h^2 + r^2 \Rightarrow l = \sqrt{h^2 + r^2}$

Для нахождения радиуса вписанной окружности можно использовать метод подобных треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника в осевом сечении:
1. Большой треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$.
2. Малый треугольник, образованный отрезком от вершины конуса до центра сферы (длиной $h-R$), радиусом сферы $R$ и частью образующей. Этот треугольник подобен первому, так как у них есть общий острый угол при вершине конуса, и оба они прямоугольные.

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Отношение катета, противолежащего общему углу, к гипотенузе будет одинаковым для обоих треугольников:

$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{l}$

Подставим в это соотношение выражение для $l$:

$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{\sqrt{h^2+r^2}}$

Теперь решим это уравнение относительно $R$:

$R \cdot \sqrt{h^2+r^2} = r \cdot (h-R)$

$R \sqrt{h^2+r^2} = rh - rR$

Перенесем все члены, содержащие $R$, в левую часть:

$R \sqrt{h^2+r^2} + rR = rh$

Вынесем $R$ за скобки:

$R (\sqrt{h^2+r^2} + r) = rh$

Разделим обе части на выражение в скобках, чтобы выразить $R$:

$R = \frac{rh}{r + \sqrt{h^2+r^2}}$

Это и есть искомое выражение.

Ответ: $R = \frac{rh}{r + \sqrt{h^2+r^2}}$