Номер 16.17, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.17.Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 1 см, образующая равна 2. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R_1 = 2$ см

Радиус меньшего основания усеченного конуса $R_2 = 1$ см

Образующая усеченного конуса $l = 2$ см

$R_1 = 0.02$ м
$R_2 = 0.01$ м
$l = 0.02$ м

Найти:

Радиус описанной сферы $R_{сф}$

Решение:

Описанная сфера проходит через окружности оснований усеченного конуса. Центр сферы лежит на оси конуса. Осевое сечение усеченного конуса представляет собой равнобокую трапецию, которая вписана в большую окружность сферы. Радиус этой окружности и будет искомым радиусом описанной сферы.

Найдем параметры этой трапеции. Основания трапеции равны диаметрам оснований конуса, а боковые стороны — его образующей.

Большее основание трапеции: $a = 2R_1 = 2 \cdot 2 = 4$ см.

Меньшее основание трапеции: $b = 2R_2 = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Боковая сторона трапеции: $c = l = 2$ см.

Для дальнейших вычислений найдем высоту трапеции $h$. Если из вершины меньшего основания опустить перпендикуляр на большее, образуется прямоугольный треугольник. Его гипотенуза — это боковая сторона $c$, один из катетов — высота $h$, а другой катет равен полуразности оснований:

Катет $k = \frac{a - b}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$ см.

По теореме Пифагора найдем высоту $h$:

$h = \sqrt{c^2 - k^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3}$ см.

Радиус окружности, описанной около трапеции, равен радиусу окружности, описанной около треугольника, образованного тремя ее вершинами. Рассмотрим треугольник, сторонами которого являются большее основание $a$, боковая сторона $c$ и диагональ трапеции $d$.

Найдем длину диагонали $d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю $d$, высотой $h$ и частью большего основания. Длина этой части основания равна $a - k = 4 - 1 = 3$ см.

По теореме Пифагора:

$d^2 = h^2 + (a - k)^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 = 3 + 9 = 12$.

$d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник со сторонами $a=4$ см, $c=2$ см и $d=2\sqrt{3}$ см. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора:

$c^2 + d^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 12 = 16$.

$a^2 = 4^2 = 16$.

Так как $c^2 + d^2 = a^2$, этот треугольник является прямоугольным, а его гипотенузой — большее основание трапеции $a$.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.

Следовательно, радиус описанной сферы $R_{сф}$ равен:

$R_{сф} = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Ответ: $2$ см.