Номер 16.10, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.10. Выразите радиус $R$ сферы, описанной около конуса, через его высоту $h$ и радиус $r$ окружности основания.

Дано:

Конус, у которого высота равна $h$ и радиус окружности основания равен $r$.
Сфера, описанная около этого конуса, с радиусом $R$.

Найти:

Формулу, выражающую радиус сферы $R$ через высоту конуса $h$ и радиус его основания $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение комбинации конуса и описанной сферы. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с высотой $h$ и основанием $2r$. Сечением сферы будет большая окружность радиусом $R$, которая будет описана около этого равнобедренного треугольника.

Центр описанной сферы $O$ лежит на оси симметрии конуса, которая совпадает с высотой равнобедренного треугольника. Пусть вершина конуса будет точкой $S$, а центр его основания — точкой $M$. Тогда высота конуса — это отрезок $SM$, и $SM = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом основания конуса $r$ и частью высоты конуса. Пусть $A$ — точка на окружности основания конуса. Тогда в осевом сечении мы получим прямоугольный треугольник $OMA$, где:

• $OA$ — гипотенуза, являющаяся радиусом сферы, $OA = R$.
• $AM$ — катет, являющийся радиусом основания конуса, $AM = r$.
• $OM$ — катет, являющийся расстоянием от центра сферы до плоскости основания конуса.

По теореме Пифагора для треугольника $OMA$: $OA^2 = OM^2 + AM^2$ $R^2 = OM^2 + r^2$

Расстояние $OM$ можно выразить через высоту конуса $h$ и радиус сферы $R$. Так как точки $S$, $O$, $M$ лежат на одной прямой (оси конуса), то $SM = h$. Расстояние от центра сферы до вершины конуса равно радиусу сферы: $OS = R$. Следовательно, расстояние $OM$ равно $|SM - OS| = |h - R|$.

Подставим это выражение для $OM$ в уравнение теоремы Пифагора: $R^2 = (|h - R|)^2 + r^2$

Так как $(|h - R|)^2 = (h - R)^2$, уравнение принимает вид: $R^2 = (h - R)^2 + r^2$

Раскроем скобки в правой части: $R^2 = h^2 - 2hR + R^2 + r^2$

Упростим уравнение, вычтя $R^2$ из обеих частей: $0 = h^2 - 2hR + r^2$

Теперь выразим $R$. Перенесем слагаемое, содержащее $R$, в левую часть: $2hR = h^2 + r^2$

Разделим обе части на $2h$ (высота $h$ не может быть равна нулю): $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

Это и есть искомое выражение для радиуса описанной сферы.

Ответ: $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$