Номер 16.14, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.14. Образующая конуса и радиус описанной сферы равны 2 см.

Найдите радиус основания конуса.

Дано:

Образующая конуса $l = 2$ см.

Радиус описанной сферы $R = 2$ см.

Найти:

Радиус основания конуса $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечением будет равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в окружность большого круга сферы.

Обозначим высоту конуса как $h$, радиус основания конуса как $r$, образующую как $l$ и радиус описанной сферы как $R$.

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом его основания и образующей, по теореме Пифагора имеем:

$h^2 + r^2 = l^2$

Подставим известное значение $l = 2$ см:

$h^2 + r^2 = 2^2$

$h^2 + r^2 = 4$ (1)

Центр описанной сферы находится на оси конуса (на высоте $h$ в осевом сечении). Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $r$ и отрезок на высоте, равный $|h - R|$, а гипотенузой — радиус сферы $R$, соединяющий центр сферы с точкой на окружности основания конуса. По теореме Пифагора для этого треугольника:

$r^2 + (h - R)^2 = R^2$

Подставим известное значение $R = 2$ см:

$r^2 + (h - 2)^2 = 2^2$

$r^2 + h^2 - 4h + 4 = 4$

$r^2 + h^2 - 4h = 0$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $r$:

$\begin{cases} h^2 + r^2 = 4 \\ h^2 + r^2 - 4h = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения мы знаем, что $h^2 + r^2 = 4$. Подставим это значение во второе уравнение:

$4 - 4h = 0$

$4h = 4$

$h = 1$ см.

Теперь, зная высоту конуса $h$, найдем радиус его основания $r$ из первого уравнения:

$1^2 + r^2 = 4$

$1 + r^2 = 4$

$r^2 = 4 - 1$

$r^2 = 3$

$r = \sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен $\sqrt{3}$ см.