Номер 16.19, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.19. Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 см и 1 см, образующая равна 5 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:

Радиус большего основания усеченного конуса $R = 4$ см.

Радиус меньшего основания усеченного конуса $r = 1$ см.

Образующая усеченного конуса $l = 5$ см.

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$r = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$l = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Радиус вписанной сферы $r_{сф}$.

Решение:

Для того чтобы в усеченный конус можно было вписать сферу, необходимо выполнение определенного условия. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса. Оно представляет собой равнобокую трапецию. Основания этой трапеции равны диаметрам оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковые стороны равны образующей конуса $l$. Осевым сечением вписанной сферы является окружность, вписанная в эту трапецию.

Окружность можно вписать в четырехугольник (в нашем случае, в трапецию) тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для нашей трапеции это условие записывается так:

$2R + 2r = l + l$

Упростив выражение, получаем:

$R + r = l$

Проверим, выполняется ли это условие для данных в задаче величин:

$4 \text{ см} + 1 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Поскольку образующая $l$ также равна 5 см, условие выполняется. Это означает, что в данный усеченный конус действительно можно вписать сферу.

Диаметр сферы, вписанной в усеченный конус, равен высоте этого конуса $h$. Следовательно, радиус вписанной сферы $r_{сф}$ равен половине высоты:

$r_{сф} = \frac{h}{2}$

Чтобы найти высоту $h$, рассмотрим прямоугольный треугольник, который образуется в осевом сечении. Его гипотенузой является образующая $l$, одним катетом — высота конуса $h$, а вторым катетом — разность радиусов оснований $(R-r)$.

По теореме Пифагора имеем:

$l^2 = h^2 + (R-r)^2$

Выразим из этой формулы высоту $h$:

$h = \sqrt{l^2 - (R-r)^2}$

Подставим известные значения в формулу:

$h = \sqrt{5^2 - (4-1)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ см}$

Теперь, зная высоту усеченного конуса, можем найти радиус вписанной сферы:

$r_{сф} = \frac{h}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ см}$

Ответ: 2 см.