Номер 16.18, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.18. Докажите, что радиус $r$ сферы, вписанной в усеченный конус, радиусы оснований которого равны $R_1$, $R_2$, а образующая равна $b$, выражается формулой:

$r = \frac{\sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}}{2}$.

Дано:

Усеченный конус, в который вписана сфера.
$R_1$ — радиус большего основания усеченного конуса.
$R_2$ — радиус меньшего основания усеченного конуса.
$b$ — длина образующей усеченного конуса.
$r$ — радиус вписанной сферы.

Найти (Доказать):

$r = \frac{\sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}}{2}$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса и вписанной в него сферы. Сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция, а сечением вписанной сферы — окружность, вписанная в эту трапецию.

Пусть основаниями трапеции являются отрезки $AD$ и $BC$. Длины оснований трапеции равны диаметрам оснований конуса: $AD = 2R_1$ и $BC = 2R_2$. Боковые стороны трапеции равны образующей конуса: $AB = CD = b$.

Высота усеченного конуса $h$ является также высотой трапеции. Так как в трапецию вписана окружность с радиусом $r$, ее высота равна диаметру этой окружности, то есть $h = 2r$.

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. В результате образуется прямоугольный треугольник $ABH$. В этом треугольнике:

• Гипотенуза $AB$ равна образующей конуса: $AB = b$.
• Катет $BH$ равен высоте трапеции: $BH = h$.
• Катет $AH$ можно найти как полуразность оснований трапеции: $AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R_1 - 2R_2}{2} = R_1 - R_2$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH$: $AB^2 = AH^2 + BH^2$

Подставим известные значения в это уравнение: $b^2 = (R_1 - R_2)^2 + h^2$

Из этого уравнения выразим квадрат высоты $h^2$: $h^2 = b^2 - (R_1 - R_2)^2$

Следовательно, высота $h$ равна: $h = \sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Ранее мы установили, что высота трапеции связана с радиусом вписанной окружности соотношением $h = 2r$. Отсюда $r = \frac{h}{2}$.

Подставив найденное выражение для $h$ в формулу для радиуса $r$, получаем: $r = \frac{\sqrt{b^2 - (R_1 - R_2)^2}}{2}$

Таким образом, формула доказана.
Ответ: Доказано.