Номер 16.15, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.15. Радиус основания конуса равен 1 см. Образующая составляет с плоскостью основания угол $45^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано:

Радиус основания конуса $r_k = 1 \text{ см}$

Угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 45^\circ$

$r_k = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

a) Радиус описанной сферы $R$

б) Радиус вписанной сферы $r_s$

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник, основанием которого является диаметр основания конуса $D = 2r_k$, а боковыми сторонами — образующие конуса $l$. Высота этого треугольника является высотой конуса $H$. Угол между образующей и плоскостью основания — это угол при основании этого равнобедренного треугольника, равный $\alpha = 45^\circ$.

Высота конуса $H$, радиус основания $r_k$ и образующая $l$ связаны через прямоугольный треугольник, где $l$ — гипотенуза, а $H$ и $r_k$ — катеты. Угол между $l$ и $r_k$ равен $\alpha$.

Найдем высоту конуса $H$:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r_k}$

$H = r_k \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1 \text{ см}$

Так как $H = r_k = 1 \text{ см}$, то прямоугольный треугольник, образованный высотой, радиусом и образующей, является равнобедренным.

Найдем длину образующей $l$ по теореме Пифагора:

$l = \sqrt{H^2 + r_k^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ см}$

а) описанной

Описанная около конуса сфера проходит через его вершину и окружность основания. Ее центр лежит на оси конуса. В осевом сечении мы имеем окружность, описанную около равнобедренного треугольника (осевого сечения конуса).

Найдем угол при вершине этого треугольника. Так как углы при основании равны по $45^\circ$, угол при вершине равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$.

Следовательно, осевое сечение конуса — это прямоугольный треугольник. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Гипотенузой в данном случае является диаметр основания конуса $D = 2r_k = 2 \cdot 1 = 2 \text{ см}$.

Радиус $R$ описанной окружности (и, соответственно, описанной сферы) равен половине гипотенузы:

$R = \frac{D}{2} = \frac{2}{2} = 1 \text{ см}$

Ответ: $R = 1 \text{ см}$.

б) вписанной сферы

Вписанная в конус сфера касается его основания и боковой поверхности. Ее центр также лежит на оси конуса. В осевом сечении мы имеем окружность, вписанную в равнобедренный треугольник.

Радиус $r_s$ вписанной окружности (и вписанной сферы) можно найти по формуле для радиуса вписанной в треугольник окружности: $r_s = \frac{K}{s}$, где $K$ — площадь треугольника, а $s$ — его полупериметр.

Площадь осевого сечения (треугольника):

$K = \frac{1}{2} \cdot D \cdot H = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 1 = 1 \text{ см}^2$

Периметр треугольника:

$P = l + l + D = \sqrt{2} + \sqrt{2} + 2 = 2\sqrt{2} + 2 \text{ см}$

Полупериметр:

$s = \frac{P}{2} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{2} = \sqrt{2} + 1 \text{ см}$

Теперь найдем радиус вписанной сферы:

$r_s = \frac{K}{s} = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$r_s = \frac{1}{\sqrt{2} + 1} \cdot \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2 - 1} = \sqrt{2} - 1 \text{ см}$

Ответ: $r_s = \sqrt{2} - 1 \text{ см}$.