Номер 16.16, страница 105 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.16. Образующая конуса равна 1 см и составляет с плоскостью основания угол $30^\circ$. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано:
Образующая конуса $l = 1$ см.
Угол между образующей и плоскостью основания $\alpha = 30^\circ$.

Найти:
а) Радиус описанной сферы $R_о$.
б) Радиус вписанной сферы $R_в$.

Решение:

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны образующей конуса $l$, а углы при основании равны углу наклона образующей к плоскости основания $\alpha$. Высота этого треугольника является высотой конуса $h$, а половина основания – радиусом основания конуса $r$.

Найдем высоту $h$ и радиус $r$ конуса из прямоугольного треугольника, образованного образующей, высотой и радиусом основания.

Высота конуса: $h = l \cdot \sin\alpha = 1 \cdot \sin30^\circ = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ см.

Радиус основания конуса: $r = l \cdot \cos\alpha = 1 \cdot \cos30^\circ = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ см.

а) Найти радиус описанной сферы.

Описанная около конуса сфера проходит через его вершину и окружность основания. Центр этой сферы лежит на оси конуса, а её сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является окружностью, описанной около осевого сечения конуса.

Радиус $R_о$ описанной окружности для треугольника (осевого сечения) можно найти по теореме синусов: $R_о = \frac{l}{2\sin\alpha}$

Подставим известные значения: $R_о = \frac{1}{2\sin30^\circ} = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1$ см.

Ответ: $R_о = 1$ см.

б) Найти радиус вписанной сферы.

Вписанная в конус сфера касается его основания и всех образующих. Центр вписанной сферы лежит на оси конуса, а её сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является окружностью, вписанной в осевое сечение.

Радиус $R_в$ вписанной окружности можно найти из прямоугольного треугольника, одним из острых углов которого является половина угла при основании осевого сечения, то есть $\frac{\alpha}{2}$. Катетами этого малого треугольника являются радиус основания конуса $r$ и радиус вписанной сферы $R_в$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем: $R_в = r \cdot \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Нам нужно найти $\tan(15^\circ)$, так как $\frac{\alpha}{2} = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$.

Используем формулу тангенса разности: $\tan15^\circ = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan45^\circ - \tan30^\circ}{1 + \tan45^\circ \cdot \tan30^\circ} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3-\sqrt{3})$: $\tan15^\circ = \frac{(3-\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6} = 2 - \sqrt{3}$

Теперь вычислим радиус вписанной сферы: $R_в = r \cdot \tan15^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (2 - \sqrt{3}) = \frac{2\sqrt{3} - (\sqrt{3})^2}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.

Ответ: $R_в = \frac{2\sqrt{3} - 3}{2}$ см.