Номер 16.13, страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.13. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:
Радиус основания конуса $R = 3$ см.
Высота конуса $H = 4$ см.

Найти:
Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:
Для нахождения радиуса вписанной в конус сферы рассмотрим его осевое сечение. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Вписанная в конус сфера в этом сечении будет являться окружностью, вписанной в данный треугольник. Радиус этой окружности и есть искомый радиус $r$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $ABC$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Высота конуса $H$ является высотой $AM$ этого треугольника, опущенной на основание $BC$.
По условию, высота $AM = H = 4$ см.
Радиус основания конуса $R$ является половиной основания треугольника: $MC = R = 3$ см.

Стороны $AB$ и $AC$ треугольника равны образующей конуса $L$. Длину образующей можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AMC$:
$L^2 = AM^2 + MC^2 = H^2 + R^2$
$L = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Центр $O$ вписанной сферы (и окружности в сечении) находится на высоте $AM$. Проведем из центра $O$ радиус $OK$ к точке касания со стороной $AC$. По свойству касательной, радиус $OK$ перпендикулярен стороне $AC$ ($OK \perp AC$).

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OKA$ и $\triangle MCA$.
У этих треугольников есть общий острый угол $\angle MAC$ (или $\angle OAK$), следовательно, они подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{OK}{MC} = \frac{AO}{AC}$

Выразим длины отрезков в этой пропорции через известные величины и искомый радиус $r$:
$OK = r$
$MC = R = 3$ см
$AC = L = 5$ см
$AO = AM - OM = H - r = 4 - r$

Подставим эти значения в уравнение пропорции:
$\frac{r}{3} = \frac{4 - r}{5}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $r$:
$5 \cdot r = 3 \cdot (4 - r)$
$5r = 12 - 3r$
$5r + 3r = 12$
$8r = 12$
$r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: $1.5$ см.