Страница 104 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

16.1. В цилиндр вписана сфера радиусом $R$. Найдите радиус основания и высоту цилиндра?

Дано:

В цилиндр вписана сфера.

Радиус сферы: $R_{сферы} = R$.

Найти:

Радиус основания цилиндра: $r_{цилиндра}$

Высота цилиндра: $h_{цилиндра}$

Решение:

Если сфера вписана в цилиндр, это означает, что она касается его верхнего и нижнего оснований, а также его боковой поверхности.

Для наглядности рассмотрим осевое сечение данной системы тел. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, а осевым сечением вписанной в него сферы — окружность, которая вписана в этот прямоугольник. Радиус этой окружности равен радиусу сферы $R$.

1. Нахождение радиуса основания цилиндра.

Так как окружность (сечение сферы) вписана в прямоугольник (сечение цилиндра), она касается его боковых сторон. Ширина этого прямоугольника равна диаметру основания цилиндра ($d_{цилиндра}$). В то же время, ширина этого прямоугольника должна быть равна диаметру вписанной окружности ($D_{сферы} = 2R$).

Следовательно, диаметр основания цилиндра равен диаметру сферы:

$d_{цилиндра} = 2R$

Радиус основания цилиндра ($r_{цилиндра}$) равен половине его диаметра:

$r_{цилиндра} = \frac{d_{цилиндра}}{2} = \frac{2R}{2} = R$

2. Нахождение высоты цилиндра.

Поскольку сфера касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, высота цилиндра ($h_{цилиндра}$) должна быть равна расстоянию между этими основаниями. Это расстояние соответствует высоте прямоугольника в осевом сечении. Высота прямоугольника, в который вписана окружность, равна диаметру этой окружности.

Следовательно, высота цилиндра равна диаметру сферы:

$h_{цилиндра} = D_{сферы} = 2R$

Цилиндр, в который можно вписать сферу, называется равносторонним, так как его высота равна диаметру основания ($h = 2r$).

Ответ: радиус основания цилиндра равен $R$, высота цилиндра равна $2R$.

16.2. В цилиндр, высота которого равна $h$, вписана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Цилиндр, высота которого $h_{цил} = h$.

В цилиндр вписана сфера.

Перевод в СИ не требуется, так как высота задана в общем виде.

Найти:

Радиус сферы, $R_{сф}$.

Решение:

Так как сфера вписана в цилиндр, это означает, что сфера касается обоих оснований цилиндра (верхнего и нижнего) и его боковой поверхности.

Поскольку сфера касается верхнего и нижнего оснований цилиндра, расстояние между точками касания равно диаметру сферы. Это расстояние также является высотой цилиндра.

Следовательно, диаметр вписанной сферы ($d_{сф}$) равен высоте цилиндра ($h_{цил}$):

$d_{сф} = h_{цил} = h$

Диаметр любой сферы связан с ее радиусом ($R_{сф}$) соотношением:

$d_{сф} = 2R_{сф}$

Приравняем правые части двух выражений для диаметра сферы:

$2R_{сф} = h$

Отсюда выразим радиус сферы:

$R_{сф} = \frac{h}{2}$

Ответ: $\frac{h}{2}$.

16.3. Около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1 см, описана сфера. Найдите ее радиус.

Дано:

Радиус основания цилиндра, $r_{цил} = 1$ см.

Высота цилиндра, $h_{цил} = 1$ см.

$r_{цил} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$h_{цил} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы, $R_{сф}$.

Решение:

Так как сфера описана около цилиндра, окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Центр описанной сферы будет совпадать с центром цилиндра, который расположен на середине его оси (высоты).

Для нахождения радиуса сферы рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, а осевым сечением сферы — большой круг, который описан около этого прямоугольника. Диаметр этого круга является диагональю прямоугольника.

Стороны прямоугольника, полученного в сечении, равны высоте цилиндра $h_{цил}$ и диаметру его основания $d_{цил}$.

Вычислим стороны прямоугольника:

Высота прямоугольника: $h_{цил} = 1$ см.

Ширина прямоугольника (диаметр основания цилиндра): $d_{цил} = 2 \cdot r_{цил} = 2 \cdot 1 = 2$ см.

Радиус описанной сферы $R_{сф}$ можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус основания цилиндра $r_{цил}$ и половина высоты цилиндра $\frac{h_{цил}}{2}$. Этот треугольник образуется радиусом сферы, радиусом основания цилиндра и отрезком, соединяющим центр сферы с центром основания цилиндра.

Согласно теореме Пифагора:

$R_{сф}^2 = r_{цил}^2 + \left(\frac{h_{цил}}{2}\right)^2$

Подставим числовые значения в формулу:

$R_{сф}^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = 1 + 0.25 = 1.25$

Теперь найдем радиус сферы, извлекая квадратный корень:

$R_{сф} = \sqrt{1.25} = \sqrt{\frac{125}{100}} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{4 \cdot 25}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{2}$ см.

16.4. Около цилиндра, радиус основания которого равен 1 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите высоту цилиндра.

Дано:

Радиус основания цилиндра, $r_{цил} = 1$ см.

Радиус описанной сферы, $R_{сф} = 2$ см.

Найти:

Высоту цилиндра, $h_{цил}$.

Решение:

Так как сфера описана около цилиндра, окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы. Рассмотрим осевое сечение данной комбинации тел. Сечением будет прямоугольник (от цилиндра), вписанный в круг (от сферы).

Центр сферы будет совпадать с серединой высоты цилиндра.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр сферы (и центр осевого сечения), центр одного из оснований цилиндра и любая точка на окружности этого основания.

В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус сферы $R_{сф}$;
• один катет — это радиус основания цилиндра $r_{цил}$;
• второй катет — это половина высоты цилиндра $\frac{h_{цил}}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$R_{сф}^2 = r_{цил}^2 + (\frac{h_{цил}}{2})^2$

Подставим известные значения в формулу:

$2^2 = 1^2 + (\frac{h_{цил}}{2})^2$

$4 = 1 + \frac{h_{цил}^2}{4}$

Выразим из уравнения $\frac{h_{цил}^2}{4}$:

$\frac{h_{цил}^2}{4} = 4 - 1$

$\frac{h_{цил}^2}{4} = 3$

$h_{цил}^2 = 3 \cdot 4$

$h_{цил}^2 = 12$

$h_{цил} = \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: высота цилиндра равна $2\sqrt{3}$ см.

16.5. Около цилиндра, высота которого равна 2 см, описана сфера радиусом 2 см. Найдите радиус основания цилиндра.

Дано:

Высота цилиндра $H = 2$ см

Радиус описанной сферы $R = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$H = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Радиус основания цилиндра $r$.

Решение:

Когда сфера описана около цилиндра, окружности оснований цилиндра лежат на поверхности сферы, а центр сферы совпадает с серединой высоты (оси) цилиндра.

Рассмотрим осевое сечение этой системы. Сечением сферы является большой круг радиуса $R$, а сечением цилиндра — прямоугольник, вписанный в этот круг. Высота этого прямоугольника равна высоте цилиндра $H$, а его ширина равна диаметру основания цилиндра, то есть $2r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, вершинами которого являются: центр сферы, центр одного из оснований цилиндра и точка на окружности этого основания. В этом треугольнике:

• гипотенуза — это радиус сферы $R$;
• один катет — это радиус основания цилиндра $r$;
• второй катет — это половина высоты цилиндра $\frac{H}{2}$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$R^2 = r^2 + (\frac{H}{2})^2$

Выразим из этой формулы радиус основания цилиндра $r$:

$r^2 = R^2 - (\frac{H}{2})^2$

Подставим заданные значения (для удобства будем использовать сантиметры):

$R = 2$ см

$H = 2$ см, следовательно, $\frac{H}{2} = \frac{2}{2} = 1$ см.

Подставляем числа в формулу:

$r^2 = 2^2 - 1^2$

$r^2 = 4 - 1$

$r^2 = 3$

Отсюда находим радиус $r$:

$r = \sqrt{3}$ см

Ответ:

Радиус основания цилиндра равен $\sqrt{3}$ см.

16.6. Осевым сечением цилиндра является прямоугольник, стороны которого равны 3 см и 4 см. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:

Осевое сечение цилиндра - прямоугольник со сторонами $a$ и $b$.

$a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Радиус описанной сферы $R$.

Решение:

Сфера, описанная около цилиндра, также является описанной около его осевого сечения. Центр описанной сферы совпадает с центром симметрии цилиндра, который, в свою очередь, является точкой пересечения диагоналей осевого сечения (прямоугольника).

Таким образом, диаметр описанной сферы $D$ равен диагонали $d$ осевого сечения.

Стороны прямоугольника осевого сечения — это высота цилиндра $h$ и диаметр его основания $d_{цил}$. В данном случае неважно, какая из сторон (3 см или 4 см) является высотой, а какая — диаметром основания, так как диагональ прямоугольника в обоих случаях будет одинаковой.

Найдем диагональ прямоугольника $d$ по теореме Пифагора:

$d^2 = a^2 + b^2$

$d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Подставим значения сторон:

$d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}$

Диаметр описанной сферы $D$ равен 5 см.

Радиус описанной сферы $R$ равен половине ее диаметра:

$R = \frac{D}{2} = \frac{d}{2}$

$R = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ см}$

Ответ: 2,5 см.

16.7. Найдите площадь поверхности цилиндра, описанного около сферы радиусом 1 см.

Дано:

Радиус сферы, $R_{\text{сферы}} = 1$ см.

Перевод в систему СИ:

$R_{\text{сферы}} = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$.

Найти:

Площадь полной поверхности описанного цилиндра, $S_{\text{цил}}$.

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра вычисляется как сумма площади боковой поверхности и двух площадей оснований:

$S_{\text{цил}} = S_{\text{бок}} + 2 \cdot S_{\text{осн}}$

Площадь боковой поверхности цилиндра с радиусом основания $R$ и высотой $h$ равна $S_{\text{бок}} = 2 \pi R h$.

Площадь одного основания равна $S_{\text{осн}} = \pi R^2$.

Следовательно, формула полной поверхности цилиндра имеет вид:

$S_{\text{цил}} = 2 \pi R h + 2 \pi R^2 = 2 \pi R (h + R)$.

По условию, цилиндр описан около сферы. Это означает, что сфера вписана в цилиндр и касается его оснований (верхнего и нижнего) и боковой поверхности. Из этого следует:

1. Радиус основания цилиндра $R$ равен радиусу сферы $R_{\text{сферы}}$:

$R = R_{\text{сферы}} = 1$ см.

2. Высота цилиндра $h$ равна диаметру сферы, то есть двум радиусам сферы:

$h = 2 \cdot R_{\text{сферы}} = 2 \cdot 1 \text{ см} = 2$ см.

Теперь подставим найденные значения радиуса $R$ и высоты $h$ в формулу площади полной поверхности цилиндра:

$S_{\text{цил}} = 2 \pi R (h + R) = 2 \pi \cdot 1 \cdot (2 + 1) = 2 \pi \cdot 3 = 6 \pi \text{ см}^2$.

Для проверки можно также выразить площадь поверхности цилиндра через радиус вписанной сферы. Подставив $R = R_{\text{сферы}}$ и $h = 2R_{\text{сферы}}$ в общую формулу, получим:

$S_{\text{цил}} = 2 \pi R_{\text{сферы}} (2R_{\text{сферы}} + R_{\text{сферы}}) = 2 \pi R_{\text{сферы}} (3R_{\text{сферы}}) = 6 \pi R_{\text{сферы}}^2$.

Подставляя значение $R_{\text{сферы}} = 1$ см:

$S_{\text{цил}} = 6 \pi (1)^2 = 6 \pi \text{ см}^2$.

Ответ: $6 \pi \text{ см}^2$.

16.8. Радиус сферы, вписанной в усеченный конус, равен 2 см. Найдите высоту этого усеченного конуса.

Дано:

Радиус вписанной сферы, $r = 2$ см.

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Высоту усеченного конуса, $H$.

Решение:

Если сфера вписана в усеченный конус, это означает, что она касается его верхнего и нижнего оснований, а также боковой поверхности.

Рассмотрим осевое сечение данной геометрической фигуры. Сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция, а сечением вписанной сферы — круг, вписанный в эту трапецию.

Высота усеченного конуса $H$ равна высоте этой равнобедренной трапеции. Поскольку круг вписан в трапецию, он касается ее верхнего и нижнего оснований. Расстояние между точками касания равно диаметру круга, и это расстояние как раз и является высотой трапеции.

Следовательно, высота усеченного конуса $H$ равна диаметру вписанной сферы $D$.

Диаметр сферы равен удвоенному радиусу:

$D = 2 \cdot r$

Подставляем известное значение радиуса:

$H = D = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: 4 см.

16.9. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной равной 1 см. Найдите радиус:

а) описанной;

б) вписанной сферы.

Дано:

Осевое сечение конуса — равносторонний треугольник.

Сторона треугольника $a = 1$ см.

$a = 0.01$ м.

Найти:

а) Радиус описанной сферы $R$.

б) Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:

Задача о нахождении радиусов вписанной и описанной сфер для конуса, у которого осевое сечение является равносторонним треугольником, сводится к задаче о нахождении радиусов вписанной и описанной окружностей для этого треугольника. Центры этих сфер (и окружностей) лежат на оси конуса (на высоте треугольника).

а) описанной

Радиус $R$ сферы, описанной около конуса, равен радиусу окружности, описанной около его осевого сечения — равностороннего треугольника со стороной $a$. Формула для радиуса описанной окружности равностороннего треугольника:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставляем известное значение стороны $a = 1$ см:

$R = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

б) вписанной

Радиус $r$ сферы, вписанной в конус, равен радиусу окружности, вписанной в его осевое сечение — равносторонний треугольник со стороной $a$. Формула для радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Подставляем известное значение стороны $a = 1$ см:

$r = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Также можно отметить, что для равностороннего треугольника центр вписанной и описанной окружностей совпадает, и радиус вписанной окружности всегда в два раза меньше радиуса описанной: $r = \frac{R}{2} = \frac{\sqrt{3}/3}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

Ответ: радиус вписанной сферы равен $\frac{\sqrt{3}}{6}$ см.

16.10. Выразите радиус $R$ сферы, описанной около конуса, через его высоту $h$ и радиус $r$ окружности основания.

Дано:

Конус, у которого высота равна $h$ и радиус окружности основания равен $r$.
Сфера, описанная около этого конуса, с радиусом $R$.

Найти:

Формулу, выражающую радиус сферы $R$ через высоту конуса $h$ и радиус его основания $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение комбинации конуса и описанной сферы. Сечением конуса будет равнобедренный треугольник с высотой $h$ и основанием $2r$. Сечением сферы будет большая окружность радиусом $R$, которая будет описана около этого равнобедренного треугольника.

Центр описанной сферы $O$ лежит на оси симметрии конуса, которая совпадает с высотой равнобедренного треугольника. Пусть вершина конуса будет точкой $S$, а центр его основания — точкой $M$. Тогда высота конуса — это отрезок $SM$, и $SM = h$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом основания конуса $r$ и частью высоты конуса. Пусть $A$ — точка на окружности основания конуса. Тогда в осевом сечении мы получим прямоугольный треугольник $OMA$, где:

• $OA$ — гипотенуза, являющаяся радиусом сферы, $OA = R$.
• $AM$ — катет, являющийся радиусом основания конуса, $AM = r$.
• $OM$ — катет, являющийся расстоянием от центра сферы до плоскости основания конуса.

По теореме Пифагора для треугольника $OMA$: $OA^2 = OM^2 + AM^2$ $R^2 = OM^2 + r^2$

Расстояние $OM$ можно выразить через высоту конуса $h$ и радиус сферы $R$. Так как точки $S$, $O$, $M$ лежат на одной прямой (оси конуса), то $SM = h$. Расстояние от центра сферы до вершины конуса равно радиусу сферы: $OS = R$. Следовательно, расстояние $OM$ равно $|SM - OS| = |h - R|$.

Подставим это выражение для $OM$ в уравнение теоремы Пифагора: $R^2 = (|h - R|)^2 + r^2$

Так как $(|h - R|)^2 = (h - R)^2$, уравнение принимает вид: $R^2 = (h - R)^2 + r^2$

Раскроем скобки в правой части: $R^2 = h^2 - 2hR + R^2 + r^2$

Упростим уравнение, вычтя $R^2$ из обеих частей: $0 = h^2 - 2hR + r^2$

Теперь выразим $R$. Перенесем слагаемое, содержащее $R$, в левую часть: $2hR = h^2 + r^2$

Разделим обе части на $2h$ (высота $h$ не может быть равна нулю): $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

Это и есть искомое выражение для радиуса описанной сферы.

Ответ: $R = \frac{h^2 + r^2}{2h}$

16.11. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус описанной сферы.

Дано:
Радиус основания конуса, $r = 3$ см
Высота конуса, $h = 4$ см

Перевод в систему СИ:
$r = 0.03$ м
$h = 0.04$ м

Найти:
Радиус описанной сферы, $R$

Решение:
Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечением конуса является равнобедренный треугольник, а сечением сферы — большая окружность, которая описана около этого треугольника. Радиус этой окружности и будет являться радиусом описанной сферы $R$.

Основание равнобедренного треугольника равно диаметру основания конуса, то есть $2r = 2 \cdot 3 = 6$ см. Высота треугольника равна высоте конуса $h = 4$ см. Боковые стороны треугольника равны образующей конуса $l$.

Найдем длину образующей $l$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса $h$, радиусом его основания $r$ и образующей $l$ (которая является гипотенузой):
$l^2 = h^2 + r^2$
$l^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$l = \sqrt{25} = 5$ см

Существует формула, связывающая радиус $R$ описанной окружности треугольника с его сторонами ($a, b, c$) и площадью ($S$): $R = \frac{abc}{4S}$. В нашем случае стороны треугольника равны $a=l=5$ см, $b=l=5$ см, $c=2r=6$ см. Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (2r) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ см$^2$.

Подставим значения в формулу для радиуса описанной окружности:
$R = \frac{5 \cdot 5 \cdot 6}{4 \cdot 12} = \frac{150}{48}$

Сократим дробь:
$R = \frac{150 \div 6}{48 \div 6} = \frac{25}{8} = 3.125$ см.

Альтернативный способ (вывод формулы):
Центр описанной сферы $O$ лежит на оси конуса (на высоте треугольника). Пусть $R$ — радиус сферы. Расстояние от центра сферы $O$ до вершины конуса равно $R$. Расстояние от центра сферы $O$ до любой точки на окружности основания конуса также равно $R$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $r$ и расстояние от центра сферы до центра основания конуса $(h - R)$, а гипотенузой — радиус сферы $R$.
По теореме Пифагора:
$R^2 = r^2 + (h - R)^2$
$R^2 = r^2 + h^2 - 2hR + R^2$
$0 = r^2 + h^2 - 2hR$
$2hR = r^2 + h^2$
Так как $l^2 = r^2 + h^2$, то
$2hR = l^2$
Отсюда $R = \frac{l^2}{2h}$.
Подставим известные значения:
$R = \frac{25}{2 \cdot 4} = \frac{25}{8} = 3.125$ см.

Ответ: радиус описанной сферы равен $3.125$ см.

16.12. Выразите радиус $R$ сферы, вписанной в конус, через его высоту $h$ и радиус $r$ окружности основания.

Дано:

Высота конуса: $h$

Радиус основания конуса: $r$

Радиус вписанной сферы: $R$

Найти:

Выразить $R$ через $h$ и $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса, в который вписана сфера. Это сечение представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность. Высота этого треугольника равна высоте конуса $h$, основание равно диаметру основания конуса $2r$, а боковые стороны равны образующей конуса $l$. Радиус вписанной в этот треугольник окружности равен радиусу сферы $R$.

Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник.

Сначала найдем длину образующей конуса $l$ по теореме Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$:

$l^2 = h^2 + r^2 \Rightarrow l = \sqrt{h^2 + r^2}$

Для нахождения радиуса вписанной окружности можно использовать метод подобных треугольников. Рассмотрим два прямоугольных треугольника в осевом сечении:
1. Большой треугольник, образованный высотой конуса $h$, радиусом основания $r$ и образующей $l$.
2. Малый треугольник, образованный отрезком от вершины конуса до центра сферы (длиной $h-R$), радиусом сферы $R$ и частью образующей. Этот треугольник подобен первому, так как у них есть общий острый угол при вершине конуса, и оба они прямоугольные.

Из подобия этих треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Отношение катета, противолежащего общему углу, к гипотенузе будет одинаковым для обоих треугольников:

$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{l}$

Подставим в это соотношение выражение для $l$:

$\frac{R}{r} = \frac{h-R}{\sqrt{h^2+r^2}}$

Теперь решим это уравнение относительно $R$:

$R \cdot \sqrt{h^2+r^2} = r \cdot (h-R)$

$R \sqrt{h^2+r^2} = rh - rR$

Перенесем все члены, содержащие $R$, в левую часть:

$R \sqrt{h^2+r^2} + rR = rh$

Вынесем $R$ за скобки:

$R (\sqrt{h^2+r^2} + r) = rh$

Разделим обе части на выражение в скобках, чтобы выразить $R$:

$R = \frac{rh}{r + \sqrt{h^2+r^2}}$

Это и есть искомое выражение.

Ответ: $R = \frac{rh}{r + \sqrt{h^2+r^2}}$

16.13. Радиус основания конуса равен 3 см, высота равна 4 см. Найдите радиус вписанной сферы.

Дано:
Радиус основания конуса $R = 3$ см.
Высота конуса $H = 4$ см.

Найти:
Радиус вписанной сферы $r$.

Решение:
Для нахождения радиуса вписанной в конус сферы рассмотрим его осевое сечение. Осевое сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник. Вписанная в конус сфера в этом сечении будет являться окружностью, вписанной в данный треугольник. Радиус этой окружности и есть искомый радиус $r$.

Пусть осевое сечение — это треугольник $ABC$, где $A$ — вершина конуса, а $BC$ — диаметр его основания. Высота конуса $H$ является высотой $AM$ этого треугольника, опущенной на основание $BC$.
По условию, высота $AM = H = 4$ см.
Радиус основания конуса $R$ является половиной основания треугольника: $MC = R = 3$ см.

Стороны $AB$ и $AC$ треугольника равны образующей конуса $L$. Длину образующей можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AMC$:
$L^2 = AM^2 + MC^2 = H^2 + R^2$
$L = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ см.

Центр $O$ вписанной сферы (и окружности в сечении) находится на высоте $AM$. Проведем из центра $O$ радиус $OK$ к точке касания со стороной $AC$. По свойству касательной, радиус $OK$ перпендикулярен стороне $AC$ ($OK \perp AC$).

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle OKA$ и $\triangle MCA$.
У этих треугольников есть общий острый угол $\angle MAC$ (или $\angle OAK$), следовательно, они подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:
$\frac{OK}{MC} = \frac{AO}{AC}$

Выразим длины отрезков в этой пропорции через известные величины и искомый радиус $r$:
$OK = r$
$MC = R = 3$ см
$AC = L = 5$ см
$AO = AM - OM = H - r = 4 - r$

Подставим эти значения в уравнение пропорции:
$\frac{r}{3} = \frac{4 - r}{5}$

Решим полученное линейное уравнение относительно $r$:
$5 \cdot r = 3 \cdot (4 - r)$
$5r = 12 - 3r$
$5r + 3r = 12$
$8r = 12$
$r = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$ см.

Ответ: $1.5$ см.

16.14. Образующая конуса и радиус описанной сферы равны 2 см.

Найдите радиус основания конуса.

Дано:

Образующая конуса $l = 2$ см.

Радиус описанной сферы $R = 2$ см.

Найти:

Радиус основания конуса $r$.

Решение:

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечением будет равнобедренный треугольник (осевое сечение конуса), вписанный в окружность большого круга сферы.

Обозначим высоту конуса как $h$, радиус основания конуса как $r$, образующую как $l$ и радиус описанной сферы как $R$.

Из прямоугольного треугольника, образованного высотой конуса, радиусом его основания и образующей, по теореме Пифагора имеем:

$h^2 + r^2 = l^2$

Подставим известное значение $l = 2$ см:

$h^2 + r^2 = 2^2$

$h^2 + r^2 = 4$ (1)

Центр описанной сферы находится на оси конуса (на высоте $h$ в осевом сечении). Рассмотрим другой прямоугольный треугольник, катетами которого являются радиус основания конуса $r$ и отрезок на высоте, равный $|h - R|$, а гипотенузой — радиус сферы $R$, соединяющий центр сферы с точкой на окружности основания конуса. По теореме Пифагора для этого треугольника:

$r^2 + (h - R)^2 = R^2$

Подставим известное значение $R = 2$ см:

$r^2 + (h - 2)^2 = 2^2$

$r^2 + h^2 - 4h + 4 = 4$

$r^2 + h^2 - 4h = 0$ (2)

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $h$ и $r$:

$\begin{cases} h^2 + r^2 = 4 \\ h^2 + r^2 - 4h = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения мы знаем, что $h^2 + r^2 = 4$. Подставим это значение во второе уравнение:

$4 - 4h = 0$

$4h = 4$

$h = 1$ см.

Теперь, зная высоту конуса $h$, найдем радиус его основания $r$ из первого уравнения:

$1^2 + r^2 = 4$

$1 + r^2 = 4$

$r^2 = 4 - 1$

$r^2 = 3$

$r = \sqrt{3}$ см.

Ответ: радиус основания конуса равен $\sqrt{3}$ см.