Страница 97 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

15.1. На листе бумаги в клетку изобразите сферу, аналогичную данной на рисунке 15.8. Нарисуйте какие-нибудь параллели и меридианы.

Чтобы изобразить сферу с параллелями и меридианами на листе бумаги в клетку, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изображение контура сферы. Нарисуйте окружность — она будет представлять собой контур сферы. На клетчатой бумаге это удобно сделать, выбрав центральную точку в узле сетки, а затем отметив точки на одинаковом расстоянии (радиусе) от центра по горизонтали, вертикали и диагоналям. После этого плавно соедините отмеченные точки.

2. Изображение параллелей. Параллели — это окружности, лежащие в плоскостях, параллельных экваториальной плоскости. На рисунке они изображаются в виде эллипсов.
- Экватор: изобразите его в виде горизонтального эллипса, проходящего через центр сферы. Дугу эллипса, находящуюся на видимой нам стороне сферы, нарисуйте сплошной линией, а дугу на обратной, невидимой стороне — пунктирной.
- Другие параллели: нарисуйте их в виде эллипсов меньшего размера выше и ниже экватора. Чем ближе параллель к полюсу, тем она короче и её видимая дуга будет более плоской. Видимые части также рисуются сплошной линией, а невидимые — пунктирной.

3. Изображение меридианов. Меридианы — это дуги, соединяющие полюса сферы.
- Полюса: отметьте верхнюю точку сферы (Северный полюс) и нижнюю (Южный полюс).
- Меридианы: нарисуйте несколько дуг, соединяющих полюса. Центральный видимый меридиан будет выглядеть как вертикальный отрезок. Меридианы, расположенные сбоку от центрального, будут выглядеть как дуги эллипсов. Дуги исходной окружности слева и справа также являются меридианами, ограничивающими видимую часть сферы. Все видимые меридианы рисуются сплошными линиями.

Ответ: В результате выполнения описанных шагов на бумаге будет создано двухмерное изображение трехмерной сферы с нанесенной координатной сеткой из параллелей и меридианов, которое создает иллюзию объема.

15.2. Какому неравенству удовлетворяют точки $A$, лежащие:

а) внутри шара с центром в точке $O$ и радиусом $R$;

б) вне этого шара?

Решение

Для определения положения точки $A$ относительно шара с центром в точке $O$ и радиусом $R$, необходимо сравнить расстояние от центра шара до точки $A$ (длину отрезка $OA$) с радиусом шара $R$.

а) Если точка $A$ лежит внутри шара, это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ строго меньше, чем радиус шара $R$. Точки, лежащие на поверхности шара (сфере), не входят в это множество. Таким образом, искомое неравенство: $OA < R$.
Ответ: $OA < R$.

б) Если точка $A$ лежит вне шара, это означает, что расстояние от центра $O$ до точки $A$ строго больше, чем радиус шара $R$. Таким образом, искомое неравенство: $OA > R$.
Ответ: $OA > R$.

15.3. Радиус сферы равен 4 см. Как расположена данная точка относительно сферы, если расстояние от нее до центра сферы равно: а) $3$; б) $4$; в) $5$?

Дано:

Радиус сферы, $R = 4 \text{ см}$

Расстояние от точки до центра сферы:

а) $d_a = 3 \text{ см}$

б) $d_b = 4 \text{ см}$

в) $d_c = 5 \text{ см}$

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$d_a = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$
$d_b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$d_c = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Расположение данной точки относительно сферы для каждого из трех случаев.

Решение:

Чтобы определить положение точки относительно сферы, необходимо сравнить расстояние от этой точки до центра сферы ($d$) с радиусом сферы ($R$).

Существует три возможных случая:

1. Если расстояние от точки до центра меньше радиуса ($d < R$), то точка находится внутри сферы.

2. Если расстояние от точки до центра равно радиусу ($d = R$), то точка находится на поверхности сферы.

3. Если расстояние от точки до центра больше радиуса ($d > R$), то точка находится вне сферы.

Применим это правило к каждому из заданных случаев.

а)

Дано расстояние от точки до центра $d_a = 3 \text{ см}$. Радиус сферы $R = 4 \text{ см}$.

Сравниваем эти значения: $3 \text{ см} < 4 \text{ см}$, то есть $d_a < R$.

Следовательно, точка расположена внутри сферы.

Ответ: Точка расположена внутри сферы.

б)

Дано расстояние от точки до центра $d_b = 4 \text{ см}$. Радиус сферы $R = 4 \text{ см}$.

Сравниваем эти значения: $4 \text{ см} = 4 \text{ см}$, то есть $d_b = R$.

Следовательно, точка расположена на сфере.

Ответ: Точка расположена на сфере.

в)

Дано расстояние от точки до центра $d_c = 5 \text{ см}$. Радиус сферы $R = 4 \text{ см}$.

Сравниваем эти значения: $5 \text{ см} > 4 \text{ см}$, то есть $d_c > R$.

Следовательно, точка расположена вне сферы.

Ответ: Точка расположена вне сферы.

центр сферы равно: а) 0; б) 1; в) 2.

15.4. Сколько диаметров можно провести через центр сферы?

Сколько диаметров можно провести через центр сферы?

Решение

По определению, диаметр сферы — это отрезок, который соединяет две точки на поверхности сферы и проходит через её центр. Центр сферы является одной-единственной точкой в пространстве.

Через любую точку в трехмерном пространстве (в данном случае, через центр сферы) можно провести бесконечное множество прямых линий в различных направлениях. Каждая из этих прямых, проходя через центр, пересечет поверхность сферы в двух диаметрально противоположных точках. Отрезок, соединяющий эти две точки, является диаметром сферы.

Так как число прямых, которые можно провести через одну точку, бесконечно, то и число соответствующих им диаметров также бесконечно.

Ответ: Через центр сферы можно провести бесконечное множество диаметров.

15.5. Найдите диаметр сферы, если известно, что он на 55 мм больше
радиуса.

Дано:

Связь между диаметром $d$ и радиусом $r$ сферы: $d = r + 55 \text{ мм}$

Перевод в СИ:
$55 \text{ мм} = 55 \times 10^{-3} \text{ м} = 0.055 \text{ м}$

Найти:

$d$ — диаметр сферы.

Решение:

Обозначим диаметр сферы как $d$, а радиус как $r$.

Связь между диаметром и радиусом любой сферы выражается стандартной формулой:
$d = 2r$

По условию задачи нам дано, что диаметр на 55 мм больше радиуса. Это можно записать в виде уравнения:
$d = r + 55$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} d = 2r \\ d = r + 55 \end{cases} $

Поскольку левые части обоих уравнений равны (обе равны $d$), мы можем приравнять их правые части:
$2r = r + 55$

Теперь решим это уравнение относительно $r$. Перенесем $r$ из правой части в левую:
$2r - r = 55$
$r = 55 \text{ мм}$

Итак, радиус сферы равен 55 мм.

Чтобы найти диаметр, подставим найденное значение радиуса в первую формулу:
$d = 2r = 2 \times 55 = 110 \text{ мм}$

Для проверки можно подставить значение радиуса и во второе уравнение:
$d = r + 55 = 55 + 55 = 110 \text{ мм}$

Результаты совпадают, следовательно, задача решена верно.

Ответ: диаметр сферы равен 110 мм.

15.6. Расстояние между точками А и В равно 2 см. Найдите наименьший возможный радиус сферы, проходящей через эти точки.

Дано:

Расстояние между точками А и В: $d = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$d = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Наименьший возможный радиус сферы $R_{min}$.

Решение:

Пусть сфера проходит через две заданные точки А и В. Отрезок, соединяющий эти точки, является хордой данной сферы. Длина этой хорды по условию равна $d = 2 \text{ см}$.

В любой сфере самая длинная хорда — это ее диаметр, который равен удвоенному радиусу ($2R$). Длина любой другой хорды не может превышать длину диаметра. Следовательно, для хорды АВ и радиуса сферы $R$ должно выполняться неравенство:

$d \le 2R$

Из этого неравенства мы можем выразить ограничение на радиус сферы:

$R \ge \frac{d}{2}$

Это означает, что радиус любой сферы, проходящей через точки А и В, должен быть не меньше половины расстояния между этими точками. Наименьший возможный радиус $R_{min}$ будет достигнут, когда это неравенство превращается в равенство.

$R_{min} = \frac{d}{2}$

Такой случай реализуется, когда хорда АВ является диаметром сферы. При этом центр сферы будет совпадать с серединой отрезка АВ.

Подставим заданное значение расстояния $d$ в формулу для нахождения минимального радиуса:

$R_{min} = \frac{2 \text{ см}}{2} = 1 \text{ см}$

Ответ: $1$ см.

15.7. Как расположены относительно друг друга сфера и плоскость, если радиус сферы равен $7$ см, а плоскость удалена от ее центра на:
а) $6$ см;
б) $7$ см;
в) $8$ см?

Дано:

Радиус сферы $R = 7$ см.

Расстояние от центра сферы до плоскости $d$ в трех случаях:

а) $d_a = 6$ см

б) $d_b = 7$ см

в) $d_c = 8$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 0,07$ м

$d_a = 0,06$ м

$d_b = 0,07$ м

$d_c = 0,08$ м

Найти:

Как расположены относительно друг друга сфера и плоскость в каждом из случаев.

Решение:

Взаимное расположение сферы и плоскости определяется сравнением радиуса сферы $R$ и расстояния $d$ от центра сферы до плоскости. Существует три возможных варианта:

1. Если $d < R$, плоскость пересекает сферу. Линией пересечения является окружность.

2. Если $d = R$, плоскость имеет со сферой одну общую точку, то есть касается сферы.

3. Если $d > R$, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Применим эти правила для каждого из заданных случаев, используя $R = 7$ см.

а)

Расстояние от центра до плоскости $d = 6$ см. Сравниваем $d$ с радиусом $R = 7$ см.

Так как $6 \text{ см} < 7 \text{ см}$, то выполняется условие $d < R$.

Следовательно, плоскость пересекает сферу.

Ответ: Плоскость пересекает сферу по окружности.

б)

Расстояние от центра до плоскости $d = 7$ см. Сравниваем $d$ с радиусом $R = 7$ см.

Так как $7 \text{ см} = 7 \text{ см}$, то выполняется условие $d = R$.

Следовательно, плоскость касается сферы в одной точке.

Ответ: Плоскость касается сферы.

в)

Расстояние от центра до плоскости $d = 8$ см. Сравниваем $d$ с радиусом $R = 7$ см.

Так как $8 \text{ см} > 7 \text{ см}$, то выполняется условие $d > R$.

Следовательно, плоскость и сфера не имеют общих точек.

Ответ: Плоскость и сфера не имеют общих точек.

15.8. Сколько касательных плоскостей можно провести к данной сфере:

а) через точку, принадлежащую сфере;

б) через точку, расположенную внутри сферы;

в) через точку, расположенную вне сферы?

а) через точку, принадлежащую сфере

Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая имеет со сферой ровно одну общую точку. Эту точку называют точкой касания. Через любую точку, принадлежащую сфере, можно провести только одну касательную плоскость. Эта плоскость будет перпендикулярна радиусу сферы, проведённому в точку касания. Если $O$ — центр сферы, а $A$ — точка на её поверхности, то касательная плоскость в точке $A$ является единственной плоскостью, проходящей через $A$ и перпендикулярной отрезку $OA$.

Ответ: одну.

б) через точку, расположенную внутри сферы

Любая плоскость, проходящая через точку, которая находится внутри сферы, будет пересекать эту сферу. Линией пересечения такой плоскости и сферы является окружность. Поскольку касательная плоскость по определению должна иметь со сферой только одну общую точку, то ни одна плоскость, проходящая через внутреннюю точку, не может быть касательной.

Ответ: ни одной.

в) через точку, расположенную вне сферы

Если точка $M$ расположена вне сферы, то существует бесконечное множество прямых, проходящих через $M$ и касающихся сферы. Множество этих прямых образует коническую поверхность (конус), вершиной которого является точка $M$. Точки касания этих прямых со сферой образуют на поверхности сферы окружность. Каждая плоскость, которая касается этого конуса вдоль одной из его образующих (касательных прямых), будет также касаться и сферы. Так как у конуса бесконечно много образующих, то через точку $M$ можно провести бесконечно много касательных плоскостей к сфере. Все они будут огибать упомянутый конус.

Ответ: бесконечно много.

15.9. Шар радиусом 5 см пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на 3 см. Найдите радиус круга, получившегося в сечении.

Дано:

Радиус шара $R = 5$ см

Расстояние от центра шара до плоскости $d = 3$ см

Перевод в систему СИ:

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

$d = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Радиус круга в сечении $r$.

Решение:

Сечение шара плоскостью представляет собой круг. Радиус шара $R$, расстояние от центра шара до секущей плоскости $d$ и радиус сечения $r$ образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике радиус шара $R$ является гипотенузой, а расстояние $d$ и радиус сечения $r$ – катетами.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$d^2 + r^2 = R^2$

Выразим из этого уравнения искомый радиус сечения $r$:

$r^2 = R^2 - d^2$

$r = \sqrt{R^2 - d^2}$

Подставим известные значения в формулу. Для удобства вычислений будем использовать сантиметры.

$r = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.