Страница 92 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

14.21. Какая фигура получится при вращении равностороннего треугольника ABC вокруг прямой, проходящей через вершину A и параллельной высоте CH (рис. 14.12)? Найдите площадь поверхности этой фигуры, если стороны треугольника ABC равны 1 см.

Рис. 14.12

При вращении равностороннего треугольника $ABC$ вокруг прямой $a$, проходящей через вершину $A$ и параллельной высоте $CH$, образуется тело вращения. Поверхность этого тела состоит из трёх частей:

1. Боковой поверхности усечённого конуса, которая образуется при вращении стороны $BC$.

2. Боковой поверхности конуса, которая образуется при вращении стороны $AC$. Эта поверхность формирует внутреннюю полость в теле вращения.

3. Плоского основания в виде круга, которое образуется при вращении стороны $AB$.

Для нахождения площади поверхности этой фигуры, необходимо вычислить площади каждой из этих трёх частей и сложить их.

Дано:

$\triangle ABC$ — равносторонний

Сторона треугольника $s = AB = BC = AC = 1 \text{ см}$

Ось вращения $a$ проходит через $A$ и $a \parallel CH$

Найти:

Площадь поверхности фигуры вращения $S$.

Решение:

Введём систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0)$, а сторона $AB$ лежала на оси $Ox$. Тогда вершина $B$ будет иметь координаты $(1,0)$. Поскольку ось вращения $a$ проходит через $A$ и параллельна высоте $CH$, она совпадёт с осью $Oy$.

В равностороннем треугольнике высота $CH$ является также медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $AB$. Координаты точки $H$: $(\frac{1}{2}, 0)$.

Найдём длину высоты $CH$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $ACH$:$CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{1^2 - (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}$.

Таким образом, координаты вершины $C$: $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$.

Площадь полной поверхности полученной фигуры $S$ равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением сторон $BC$, $AC$ и $AB$.

1. Площадь поверхности, образованной вращением стороны BC (усечённый конус).

При вращении отрезка $BC$ вокруг оси $Oy$ образуется боковая поверхность усечённого конуса.

Радиус нижнего основания $R$ равен расстоянию от точки $B$ до оси вращения, то есть $R = AB = 1$ см.

Радиус верхнего основания $r$ равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения, то есть $r = AH = \frac{1}{2}$ см.

Образующая $l$ равна длине стороны $BC$, то есть $l = 1$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса $S_1$ вычисляется по формуле:$S_1 = \pi(R+r)l = \pi(1 + \frac{1}{2}) \cdot 1 = \frac{3\pi}{2} \text{ см}^2$.

2. Площадь поверхности, образованной вращением стороны AC (конус).

При вращении отрезка $AC$ вокруг оси $Oy$ образуется боковая поверхность конуса (вершина конуса в точке $A$ на оси вращения).

Радиус основания этого конуса $r$ равен расстоянию от точки $C$ до оси вращения, то есть $r = AH = \frac{1}{2}$ см.

Образующая $l$ равна длине стороны $AC$, то есть $l = 1$ см.

Площадь боковой поверхности конуса $S_2$ вычисляется по формуле:$S_2 = \pi r l = \pi \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{\pi}{2} \text{ см}^2$.

3. Площадь поверхности, образованной вращением стороны AB (круг).

При вращении отрезка $AB$ вокруг оси $Oy$ (проходящей через его конец $A$) образуется круг, который является основанием фигуры.

Радиус этого круга $R_{осн}$ равен длине отрезка $AB$, то есть $R_{осн} = 1$ см.

Площадь круга $S_3$ вычисляется по формуле:$S_3 = \pi R_{осн}^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \text{ см}^2$.

Общая площадь поверхности.

Полная площадь поверхности фигуры вращения $S$ равна сумме найденных площадей:$S = S_1 + S_2 + S_3 = \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{4\pi}{2} + \pi = 2\pi + \pi = 3\pi \text{ см}^2$.

Ответ: При вращении получается тело, поверхность которого состоит из боковой поверхности усечённого конуса, боковой поверхности конуса (образующей внутреннюю полость) и плоского круглого основания. Площадь поверхности этой фигуры равна $3\pi \text{ см}^2$.

14.22. Найдите радиусы оснований усеченного конуса, разверткой боковой поверхности которого является половина кругового кольца, изображенного на рисунке 14.13, радиусы окружностей которого равны 1 см и 2 см.

Рис. 14.13

Дано:

Разверткой боковой поверхности усеченного конуса является половина кругового кольца.

Радиус большей окружности кольца $L = 2$ см.

Радиус меньшей окружности кольца $l = 1$ см.

Найти:

Радиусы оснований усеченного конуса, $r_1$ и $r_2$.

Решение:

Развертка боковой поверхности усеченного конуса представляет собой сектор кругового кольца. По условию, эта развертка является половиной кругового кольца, что означает, что центральный угол сектора равен $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Радиусы дуг развертки, $L$ и $l$, являются образующими полного конуса и той его части, которая была отсечена для получения усеченного конуса.

Длины дуг этой развертки равны длинам окружностей оснований усеченного конуса.

1. Найдем длину большей дуги развертки ($C_1$). Она представляет собой длину полуокружности с радиусом $L = 2$ см. Длина дуги сектора вычисляется по формуле $C = \alpha \cdot R$, где $\alpha$ — центральный угол в радианах.

$C_1 = \pi \cdot L = \pi \cdot 2 = 2\pi$ см.

Эта длина равна длине окружности большего основания усеченного конуса с радиусом $r_1$.

$C_1 = 2\pi r_1$

$2\pi = 2\pi r_1$

Отсюда находим радиус большего основания:

$r_1 = \frac{2\pi}{2\pi} = 1$ см.

2. Аналогично найдем длину меньшей дуги развертки ($C_2$). Она представляет собой длину полуокружности с радиусом $l = 1$ см.

$C_2 = \pi \cdot l = \pi \cdot 1 = \pi$ см.

Эта длина равна длине окружности меньшего основания усеченного конуса с радиусом $r_2$.

$C_2 = 2\pi r_2$

$\pi = 2\pi r_2$

Отсюда находим радиус меньшего основания:

$r_2 = \frac{\pi}{2\pi} = \frac{1}{2} = 0.5$ см.

Таким образом, радиусы оснований усеченного конуса равны 1 см и 0.5 см.

Ответ: радиусы оснований усеченного конуса равны $1$ см и $0.5$ см.

14.23. Вращением графика какой функции можно получить поверхность, изображенную на рисунке 14.14?

Рис. 14.14

Решение

На рисунке изображена поверхность, называемая параболоидом вращения. Осью симметрии (и осью вращения) данной поверхности является ось $Oz$. Вершина параболоида расположена в начале координат.

Поверхность вращения образуется путем вращения плоской кривой (называемой образующей) вокруг оси. Чтобы найти эту кривую, достаточно рассмотреть сечение поверхности любой плоскостью, проходящей через ось вращения.

Рассмотрим сечение параболоида координатной плоскостью $Oxz$. В этой плоскости, где координата $y=0$, мы получим кривую, которая является параболой с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх вдоль оси $Oz$. Уравнение такой параболы в плоскости $Oxz$ имеет вид:

$z = ax^2$, где $a$ — некоторая положительная константа ($a > 0$).

Следовательно, вращая график этой функции вокруг оси $Oz$, мы получим исходную поверхность. Аналогично, можно было бы рассмотреть сечение плоскостью $Oyz$ и получить образующую кривую с уравнением $z = ay^2$. Вращение этой кривой вокруг оси $Oz$ также даст искомый параболоид вращения. Уравнение самой поверхности в пространстве имеет вид $z = a(x^2 + y^2)$.

Ответ: Поверхность можно получить вращением графика квадратичной функции вида $z = ax^2$ (где $a > 0$), расположенного в плоскости $Oxz$, вокруг оси $Oz$. В простейшем случае это может быть функция $z=x^2$.

14.24. Вращением графика какой функции можно получить поверх-ность, изображенную на рисунке 14.15?

Рис. 14.15

Изображенная на рисунке поверхность является двойным круговым конусом, ось симметрии которого совпадает с осью $z$, а вершина находится в начале координат.

Такие поверхности называются поверхностями вращения. Они образуются при вращении некоторой плоской кривой (образующей) вокруг неподвижной прямой (оси вращения). В данном случае осью вращения является ось $z$.

Чтобы определить функцию, график которой образует данную поверхность при вращении, рассмотрим сечение этой поверхности плоскостью, проходящей через ось вращения. Возьмем, к примеру, координатную плоскость $xz$, уравнение которой $y=0$.

Сечением конуса плоскостью, проходящей через его ось, является пара прямых, пересекающихся в вершине конуса. В плоскости $xz$ это будут две прямые, проходящие через начало координат. Уравнение прямой, проходящей через начало координат в плоскости $xz$, можно записать в виде $z = kx$, где $k$ — некоторая постоянная (коэффициент наклона прямой), не равная нулю.

Таким образом, график линейной функции $z=kx$ является образующей для данного конуса. При вращении этой прямой вокруг оси $z$ каждая ее точка $(x_0, 0, z_0)$, где $z_0=kx_0$, описывает окружность радиуса $r=|x_0|$ в плоскости $z=z_0$. Уравнение этой окружности в пространстве: $x^2 + y^2 = r^2 = x_0^2$. Поскольку $x_0 = z_0/k$, мы можем подставить это выражение в уравнение окружности: $x^2 + y^2 = (z_0/k)^2$. Так как это верно для любой высоты, заменяя $z_0$ на $z$, мы получаем уравнение всей поверхности вращения: $x^2 + y^2 = (z/k)^2$, или $z^2 = k^2(x^2+y^2)$, что является каноническим уравнением конуса.

Следовательно, поверхность, изображенная на рисунке, может быть получена вращением графика линейной функции вокруг оси $z$.

Ответ: Поверхность можно получить вращением графика линейной функции, например, $z=kx$ (где $k$ - постоянная, не равная нулю), вокруг оси $z$.