Страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

13.32. Повторите определение кругового кольца и формулу его площади.

Определение кругового кольца

Круговое кольцо (также известное как аннулюс) — это плоская геометрическая фигура, представляющая собой область, ограниченную двумя концентрическими окружностями. Концентрические окружности — это окружности, имеющие общий центр. Кольцо состоит из всех точек, расстояние от которых до общего центра больше или равно радиусу внутренней окружности и меньше или равно радиусу внешней окружности.

Если $R$ — это радиус внешней (большей) окружности, а $r$ — это радиус внутренней (меньшей) окружности, то для образования кольца должно выполняться условие $R > r$.

Ответ: Круговое кольцо — это часть плоскости, заключённая между двумя окружностями с общим центром и разными радиусами.

Формула площади кругового кольца

Площадь кругового кольца находится как разность площадей большего и меньшего кругов, которые его ограничивают.

Площадь круга с радиусом $R$ (большой круг) вычисляется по формуле $S_{большого} = \pi R^2$.

Площадь круга с радиусом $r$ (малый круг) вычисляется по формуле $S_{малого} = \pi r^2$.

Таким образом, площадь кольца $S$ равна разности этих площадей:

$S = S_{большого} - S_{малого} = \pi R^2 - \pi r^2$

Для удобства вычислений можно вынести общий множитель $\pi$ за скобки. Также можно применить формулу разности квадратов:

$S = \pi (R^2 - r^2) = \pi (R - r)(R + r)$

Ответ: Формула площади кругового кольца: $S = \pi (R^2 - r^2)$, где $R$ — радиус внешней окружности, а $r$ — радиус внутренней окружности.

Докажите, что осевым сечением усеченного конуса является равнобедренная трапеция.

Для доказательства рассмотрим определения усеченного конуса и осевого сечения. Усеченный конус — это тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Также его можно определить как часть полного конуса, заключенную между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Осевое сечение — это сечение тела вращения плоскостью, проходящей через его ось.

Пусть дан усеченный конус. Проведем через его ось секущую плоскость. Эта плоскость пересечет основания конуса, которые являются кругами, по их диаметрам. Обозначим получившиеся отрезки $AD$ и $BC$. Поскольку основания конуса лежат в параллельных плоскостях, то и диаметры $AD$ и $BC$ параллельны друг другу ($AD \parallel BC$).

Кроме того, секущая плоскость пересечет боковую поверхность усеченного конуса по двум образующим. Образующая усеченного конуса — это отрезок, соединяющий соответствующие точки на окружностях оснований. Обозначим эти образующие $AB$ и $CD$.

В результате в сечении мы получили четырехугольник $ABCD$. Так как две его стороны ($AD$ и $BC$) параллельны, а две другие ($AB$ и $CD$) не параллельны (они являются частями образующих полного конуса и пересеклись бы в его вершине), то по определению четырехугольник $ABCD$ является трапецией.

Теперь докажем, что эта трапеция является равнобедренной. Все образующие усеченного конуса равны между собой по определению этого тела вращения. Следовательно, боковые стороны нашей трапеции $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, является равнобедренной. Таким образом, осевое сечение усеченного конуса — это равнобедренная трапеция. Что и требовалось доказать.

Ответ: Осевое сечение усеченного конуса является равнобедренной трапецией, потому что его основаниями являются параллельные друг другу диаметры оснований конуса, а боковыми сторонами — равные по длине образующие конуса.

Можно ли получить усеченный конус вращением неравнобедренной трапеции?

Да, можно. Усеченный конус — это тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям.

Рассмотрим трапецию, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна ее параллельным основаниям. Такая трапеция называется прямоугольной. У прямоугольной трапеции боковые стороны имеют разную длину (одна является высотой, а другая — наклонной), следовательно, она является неравнобедренной трапецией.

Процесс образования усеченного конуса выглядит следующим образом:

1. Берется прямоугольная трапеция.

2. Трапеция вращается на 360° вокруг той боковой стороны, которая образует прямые углы с основаниями.

В результате этого вращения:

• Боковая сторона, служащая осью вращения, образует высоту усеченного конуса.
• Два основания трапеции (параллельные стороны) образуют два круга — верхнее и нижнее основания усеченного конуса.
• Вторая, наклонная, боковая сторона трапеции образует боковую (коническую) поверхность усеченного конуса.

Таким образом, именно вращение неравнобедренной трапеции (в частном случае — прямоугольной) позволяет получить усеченный конус.

Ответ: Да, усеченный конус можно получить вращением неравнобедренной трапеции, а именно — прямоугольной трапеции вокруг её стороны, перпендикулярной основаниям.