Страница 81 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.23. Какая фигура получится при вращении многогранника, изображенного на рисунке 12.19, все двугранные углы которого прямые, вокруг прямой $AA_2$? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.19

При вращении многогранника вокруг прямой $AA_2$ получается тело вращения, состоящее из двух соосных цилиндров, поставленных один на другой.

Для нахождения площади поверхности этого тела вращения проанализируем исходный многогранник. Исходя из того, что все двугранные углы прямые, и данных на рисунке, можно представить исходный многогранник как объединение двух прямоугольных параллелепипедов:

1. Нижний параллелепипед с ребрами $AB=2$, $AD=2$ (следует из $A_2D_2=2$) и высотой $AA_1=1$ (следует из $AA_2=2$ и $C_1C_2=1$, что подразумевает высоту верхнего блока равной 1).

2. Верхний параллелепипед с ребрами $A_2D_2=2$, $D_2C_2=1$ и высотой $A_1A_2=1$.

Ось вращения $AA_2$ проходит по общему ребру этих параллелепипедов.

Дано:

Нижний цилиндр (образован вращением нижнего параллелепипеда):

Высота $h_1 = 1$.

Радиус $R_1$ равен максимальному расстоянию точек нижнего параллелепипеда от оси вращения $AA_2$. Это расстояние до вершины $C_1$, которая в системе координат с началом в точке $A$ и осями, направленными по ребрам, имеет координаты $(2, 2, 1)$. Радиус $R_1 = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Верхний цилиндр (образован вращением верхнего параллелепипеда):

Высота $h_2 = 1$.

Радиус $R_2$ равен максимальному расстоянию точек верхнего параллелепипеда от оси вращения $AA_2$. Это расстояние до вершины $C_2$, которая имеет координаты $(2, 1, 2)$. Радиус $R_2 = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$.

Найти:

Площадь полной поверхности фигуры вращения $S_{пов}$.

Решение:

Площадь поверхности полученной фигуры состоит из пяти частей:

1. Площадь нижнего основания (круг радиуса $R_1$):

$S_{нижн} = \pi R_1^2 = \pi (2\sqrt{2})^2 = 8\pi$.

2. Площадь боковой поверхности нижнего цилиндра:

$S_{бок1} = 2\pi R_1 h_1 = 2\pi (2\sqrt{2}) \cdot 1 = 4\sqrt{2}\pi$.

3. Площадь верхнего основания (круг радиуса $R_2$):

$S_{верхн} = \pi R_2^2 = \pi (\sqrt{5})^2 = 5\pi$.

4. Площадь боковой поверхности верхнего цилиндра:

$S_{бок2} = 2\pi R_2 h_2 = 2\pi \sqrt{5} \cdot 1 = 2\sqrt{5}\pi$.

5. Площадь кольца между двумя цилиндрами (разность площадей верхнего основания нижнего цилиндра и нижнего основания верхнего цилиндра):

$S_{кольца} = \pi R_1^2 - \pi R_2^2 = 8\pi - 5\pi = 3\pi$.

Полная площадь поверхности равна сумме площадей этих частей:

$S_{пов} = S_{нижн} + S_{бок1} + S_{верхн} + S_{бок2} + S_{кольца}$

$S_{пов} = 8\pi + 4\sqrt{2}\pi + 5\pi + 2\sqrt{5}\pi + 3\pi$

$S_{пов} = (8 + 5 + 3)\pi + 4\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{5}\pi$

$S_{пов} = 16\pi + 4\sqrt{2}\pi + 2\sqrt{5}\pi = (16 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5})\pi$

Ответ: При вращении многогранника получится фигура, состоящая из двух соосных цилиндров, стоящих друг на друге. Нижний цилиндр имеет высоту 1 и радиус $2\sqrt{2}$, а верхний - высоту 1 и радиус $\sqrt{5}$. Площадь поверхности этой фигуры равна $(16 + 4\sqrt{2} + 2\sqrt{5})\pi$.

12.24. Радиус основания цилиндра равен 2 см, образующая равна 3 см. Найдите длину кратчайшего пути по боковой поверхности этого цилиндра из одной вершины A осевого сечения в противолежащую вершину B (рис. 12.20).

Рис. 12.20

Дано:

Радиус основания цилиндра $r = 2$ см

Образующая (высота) цилиндра $h = 3$ см

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$h = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Длину кратчайшего пути по боковой поверхности $L$.

Решение:

Кратчайший путь по боковой поверхности цилиндра между двумя точками A и B представляет собой прямую линию на развёртке боковой поверхности этого цилиндра.

Развёртка боковой поверхности цилиндра — это прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника равна высоте (образующей) цилиндра $h$, а другая — длине окружности основания $C$.

Высота прямоугольника равна высоте цилиндра: $h = 3$ см.

Длина окружности основания вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Подставим значение радиуса:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 2 = 4\pi$ см.

Точка A — вершина осевого сечения, расположенная на одном основании. Точка B — противоположная вершина этого же осевого сечения, расположенная на другом основании. Это означает, что если мы "развернем" цилиндр, точка A окажется на одной стороне прямоугольника (например, в левом нижнем углу), а точка B окажется на противоположной стороне (на верхней стороне) и будет смещена по горизонтали на расстояние, равное половине длины окружности основания, так как она находится на противоположной стороне цилиндра.

Таким образом, искомый кратчайший путь $L$ является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются:

1. Высота цилиндра $h = 3$ см.

2. Половина длины окружности основания $\frac{C}{2} = \frac{4\pi}{2} = 2\pi$ см.

По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы $L$:

$L^2 = h^2 + \left(\frac{C}{2}\right)^2$

$L^2 = 3^2 + (2\pi)^2$

$L^2 = 9 + 4\pi^2$

$L = \sqrt{9 + 4\pi^2}$ см.

Ответ: $\sqrt{9 + 4\pi^2}$

12.25. На внутренней стенке цилиндрической банки, длина окружности основания которой равна 24 см, в двух с половиной сантиметрах от верхнего края висит капля меда, а на наружной стенке, в диаметрально противоположной точке, сидит муха (рис. 12.21). Найдите длину кратчайшего пути, по которому муха может доползти до меда.

Рис. 12.21

Дано:

Длина окружности основания цилиндрической банки, $C = 24$ см.

Расстояние от капли меда до верхнего края (на внутренней стенке), $h_м = 2,5$ см.

Муха сидит на наружной стенке в диаметрально противоположной точке от капли меда.

Перевод в СИ:

$C = 0,24$ м

$h_м = 0,025$ м

(Примечание: так как все данные в сантиметрах, для удобства будем производить вычисления в сантиметрах).

Найти:

Длину кратчайшего пути, по которому муха может доползти до меда, $L_{min}$.

Решение:

Чтобы найти кратчайший путь для мухи, которая ползет по поверхности банки, нужно "развернуть" эту поверхность в плоскость. Муха находится снаружи, а мед — внутри, поэтому мухе необходимо пересечь либо верхний, либо нижний край банки. Кратчайшее расстояние между двумя точками на такой развернутой поверхности будет прямая линия.

В условии задачи не указана высота, на которой сидит муха. Рисунок является лишь иллюстрацией. В таких задачах обычно предполагается симметричное расположение. Будем считать, что муха находится на том же расстоянии от верхнего края, что и капля меда, но на наружной стенке. То есть расстояние от мухи до верхнего края $h_{муха} = 2,5$ см.

Рассмотрим два возможных маршрута.

1. Путь через верхний край банки

Представим, что мы разрезали боковую поверхность банки по вертикали и развернули ее в прямоугольник. Ширина этого прямоугольника равна длине окружности основания. Поскольку муха и мед находятся на разных сторонах стенки, мы можем представить две такие развертки (внешнюю и внутреннюю), мысленно "раскрыв" банку по верхнему краю и положив обе поверхности на одну плоскость.

На этой общей развертке путь мухи будет представлять собой прямую линию. Длину этой прямой можно найти по теореме Пифагора. Катетами прямоугольного треугольника будут горизонтальное и вертикальное смещения.

а) Горизонтальное смещение. Так как муха и мед находятся в диаметрально противоположных точках, это расстояние равно половине длины окружности: $d_{горизонт} = C / 2 = 24 / 2 = 12$ см.

б) Вертикальное смещение. Оно складывается из пути мухи вверх до края и пути от края вниз к меду: $d_{вертикал} = h_{муха} + h_м = 2,5 + 2,5 = 5$ см.

Теперь найдем длину кратчайшего пути через верхний край ($L_{верх}$) как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 12 см и 5 см: $L_{верх} = \sqrt{d_{горизонт}^2 + d_{вертикал}^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см.

2. Путь через нижний край банки

Длина этого пути зависит от высоты банки $H$, которая не задана. Мухе нужно спуститься на расстояние $(H - h_{муха})$, а затем подняться на $(H - h_м)$.

Общее вертикальное смещение составит: $d_{вертикал}' = (H - h_{муха}) + (H - h_м) = (H - 2,5) + (H - 2,5) = 2H - 5$ см.

Длина пути через низ: $L_{низ} = \sqrt{12^2 + (2H - 5)^2}$.

Чтобы этот путь был короче пути через верх, должно выполняться условие $L_{низ} < L_{верх}$, то есть $\sqrt{12^2 + (2H - 5)^2} < 13$. Это возможно только если $|2H - 5| < 5$, что означает $0 < 2H < 10$, или $2,5 < H < 5$ см (высота банки $H$ не может быть меньше 2,5 см). Обычно банки имеют высоту значительно больше 5 см (например, для банки с окружностью 24 см диаметр составляет $D=C/\pi \approx 7.6$ см, и стандартные пропорции предполагают большую высоту). Следовательно, можно с уверенностью считать, что путь через верхний край является кратчайшим.

Таким образом, кратчайший путь для мухи равен 13 см.

Ответ: $13$ см.

12.26. Найдите площадь полной поверхности детали, изображенной на рисунке 12.22, составленной из двух равных частей цилиндров, составленных под углом 90°.

Рис. 12.22

Дано:

Деталь в виде колена трубы, составленная из двух частей цилиндров под углом 90°.
Общая длина одного плеча (от торца до внешней стенки другого плеча): $L_{общ} = 20$ см.
Длина прямолинейного участка каждого плеча: $L_{прям} = 10$ см.

$L_{общ} = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$
$L_{прям} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Площадь полной поверхности детали $S_{полн}$.

Решение:

Площадь полной поверхности детали $S_{полн}$ складывается из площади двух круглых оснований (торцов) $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

1. Определение параметров детали.
Для нахождения площади необходимо определить радиус цилиндра $r$ и радиус изгиба осевой линии $R_{изгиба}$.
Из схемы видно, что общая длина плеча $L_{общ}$ от торца до касательной к внешней стенке другого плеча складывается из длины прямого участка $L_{прям}$, радиуса изгиба осевой линии $R_{изгиба}$ и радиуса самого цилиндра $r$.
$L_{общ} = L_{прям} + R_{изгиба} + r$
Подставим известные значения:
$20 = 10 + R_{изгиба} + r$
$R_{изгиба} + r = 10$ см.
Для однозначного решения задачи необходимо еще одно условие. Из гармоничности формы детали, изображенной на рисунке, можно предположить, что радиус цилиндра равен радиусу изгиба его осевой линии: $r = R_{изгиба}$.
Тогда получаем:
$r + r = 10 \implies 2r = 10 \implies r = 5$ см.
Следовательно, радиус цилиндра $r = 5$ см и радиус изгиба осевой линии $R_{изгиба} = 5$ см.

2. Расчет площади оснований.
Основания представляют собой два круга радиусом $r = 5$ см. Их общая площадь:
$S_{осн} = 2 \cdot \pi r^2 = 2 \cdot \pi \cdot 5^2 = 2 \cdot 25\pi = 50\pi$ см².

3. Расчет площади боковой поверхности.
Площадь боковой поверхности $S_{бок}$ можно найти с помощью второй теоремы Паппа-Гульдина: площадь поверхности, образованной вращением плоской кривой, равна произведению длины этой кривой на длину пути, пройденного ее центром масс.
В данном случае образующей кривой является окружность поперечного сечения трубы. Ее длина (периметр):
$C = 2\pi r = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$ см.
Центр масс этой окружности движется по осевой линии детали. Осевая линия состоит из двух прямых участков по $L_{прям} = 10$ см и дуги в четверть окружности (угол 90°) с радиусом $R_{изгиба} = 5$ см.
Длина дуги: $L_{дуги} = \frac{1}{4} \cdot (2\pi R_{изгиба}) = \frac{1}{4} \cdot (2\pi \cdot 5) = 2.5\pi$ см.
Общая длина осевой линии:
$L_{ось} = L_{прям} + L_{прям} + L_{дуги} = 10 + 10 + 2.5\pi = 20 + 2.5\pi$ см.
Теперь найдем площадь боковой поверхности:
$S_{бок} = C \cdot L_{ось} = 10\pi \cdot (20 + 2.5\pi) = 200\pi + 25\pi^2$ см².

4. Расчет полной площади поверхности.
Сложим площади оснований и боковой поверхности:
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 50\pi + (200\pi + 25\pi^2) = 250\pi + 25\pi^2$ см².
Можно вынести общий множитель за скобки:
$S_{полн} = 25\pi(10 + \pi)$ см².

Ответ: $S_{полн} = 250\pi + 25\pi^2$ см² или $25\pi(10 + \pi)$ см².