Страница 80 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12.19. Высота цилиндра равна 8 дм, радиус основания — 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат (рис. 12.15). Найдите расстояние от оси цилиндра до этого сечения.

Рис. 12.15

Дано:

Цилиндр

Высота $h = 8$ дм

Радиус основания $R = 5$ дм

Сечение, параллельное оси, является квадратом.

Найти:

Расстояние от оси цилиндра до сечения $d$.

Решение:

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник. Обозначим его $ABCD$.

Стороны этого прямоугольника, которые параллельны оси цилиндра (образующие), равны высоте цилиндра. Пусть это будут стороны $AD$ и $BC$. Тогда $AD = BC = h = 8$ дм.

Другие две стороны, $AB$ и $CD$, являются хордами в верхнем и нижнем основаниях цилиндра соответственно. Так как основания равны, то $AB = CD$.

По условию задачи, сечение $ABCD$ является квадратом. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, длина хорды $AB$ также равна 8 дм:

$AB = AD = 8$ дм.

Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения — это длина перпендикуляра, опущенного из центра основания на хорду, образованную этим сечением. Рассмотрим верхнее основание цилиндра. Это круг с центром в точке $O_2$ и радиусом $R = 5$ дм. $AB$ — хорда этого круга.

Проведем из центра $O_2$ перпендикуляр $O_2K$ к хорде $AB$. Длина этого перпендикуляра $O_2K$ и есть искомое расстояние $d$.

Рассмотрим треугольник $AO_2B$. Он является равнобедренным, так как $O_2A$ и $O_2B$ — радиусы окружности основания, т.е. $O_2A = O_2B = R = 5$ дм.

В равнобедренном треугольнике высота $O_2K$, проведенная к основанию $AB$, является также и медианой. Это значит, что она делит хорду $AB$ пополам:

$AK = KB = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$ дм.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $O_2KA$. В нем:

• Гипотенуза $O_2A$ равна радиусу $R = 5$ дм.
• Катет $AK$ равен половине хорды, т.е. 4 дм.
• Катет $O_2K$ — это искомое расстояние $d$.

По теореме Пифагора:

$O_2A^2 = AK^2 + O_2K^2$

$R^2 = (\frac{AB}{2})^2 + d^2$

Подставляем известные значения в формулу:

$5^2 = 4^2 + d^2$

$25 = 16 + d^2$

$d^2 = 25 - 16$

$d^2 = 9$

$d = \sqrt{9} = 3$ дм (расстояние не может быть отрицательным).

Ответ: 3 дм.

12.20. Какая фигура получается вращением многоугольника $ABCDEF$, изображенного на рисунке 12.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой $AF$? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.16

Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEF, изображенного на рисунке 12.16, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AF?

При вращении многоугольника ABCDEF вокруг прямой AF, которая является осью вращения, получается тело вращения. Это тело можно представить как два соосных цилиндра, поставленных друг на друга. Нижний цилиндр образован вращением прямоугольника со сторонами $FE=2$ и $DE=1$. Его радиус основания равен $R=2$, а высота $h_1=1$. Верхний цилиндр образован вращением прямоугольника со сторонами $AB=1$ и $BC=1$. Его радиус основания равен $r=1$, а высота $h_2=1$. Основание верхнего цилиндра лежит на верхнем основании нижнего цилиндра, и их центры совпадают.

Ответ: Фигура, получающаяся вращением, представляет собой тело, состоящее из двух соосных цилиндров, поставленных друг на друга: нижний цилиндр с радиусом 2 и высотой 1, и верхний цилиндр с радиусом 1 и высотой 1.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Дано:

Многоугольник ABCDEF

Длины сторон:

$AB = 1$

$BC = 1$

$CD = 1$

$DE = 1$

$EF = 2$

$AF = 2$

Ось вращения: прямая AF.

Найти:

Площадь поверхности тела вращения $S_{пов}$.

Решение:

Площадь поверхности полученного тела вращения $S_{пов}$ является суммой площадей поверхностей, образованных вращением отрезков контура многоугольника вокруг оси AF. Отрезок AF лежит на оси вращения и не образует поверхности.

1. Поверхность, образованная вращением отрезка AB. Это верхнее основание фигуры — круг радиусом $r_1 = AB = 1$. Его площадь:

$S_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

2. Поверхность, образованная вращением отрезка BC. Это боковая поверхность верхнего цилиндра с радиусом $r_1 = 1$ и высотой $h_1 = BC = 1$. Её площадь:

$S_2 = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

3. Поверхность, образованная вращением отрезка CD. Это кольцо, соединяющее два цилиндра. Внешний радиус кольца равен расстоянию от точки D до оси AF, то есть $r_2 = 2$. Внутренний радиус равен расстоянию от точки C до оси, то есть $r_1 = 1$. Площадь кольца:

$S_3 = \pi (r_2^2 - r_1^2) = \pi (2^2 - 1^2) = \pi(4 - 1) = 3\pi$.

4. Поверхность, образованная вращением отрезка DE. Это боковая поверхность нижнего цилиндра с радиусом $r_2 = 2$ и высотой $h_2 = DE = 1$. Её площадь:

$S_4 = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

5. Поверхность, образованная вращением отрезка EF. Это нижнее основание фигуры — круг радиусом $r_2 = EF = 2$. Его площадь:

$S_5 = \pi r_2^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$.

Суммарная площадь поверхности равна сумме площадей всех этих частей:

$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 = \pi + 2\pi + 3\pi + 4\pi + 4\pi = 14\pi$.

Ответ: $14\pi$.

12.21. Какая фигура получается вращением многоугольника ABCDEFGH, изображенного на рисунке 12.17, соседние стороны которого образуют прямые углы, вокруг прямой AB? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.17

При вращении многоугольника ABCDEFGH вокруг прямой AB получается тело вращения. Это тело можно представить как комбинацию двух соосных цилиндров:

1. Сплошной цилиндр, образованный вращением прямоугольника, который можно мысленно достроить на основании AB высотой 1 (например, прямоугольник с вершинами A, B, и проекциями точек G и D на прямую AB). Этот цилиндр имеет радиус основания $r_1 = 1$ и высоту $h_1 = 3$.

2. Полый цилиндр (труба), образованный вращением прямоугольника GDEF. Этот полый цилиндр "надет" на среднюю часть первого цилиндра. Его высота $h_2 = FE = 1$, внутренний радиус $r_{вн} = 1$, а внешний радиус $r_{внеш} = 2$.

Таким образом, фигура представляет собой сплошной цилиндр, на среднюю часть которого надет более широкий полый цилиндр (труба).

Дано:

Многоугольник ABCDEFGH со сторонами:
$AH = 1$
$HG = 1$
$GF = 1$
$FE = 1$
$ED = 1$
$DC = 1$
$CB = 1$
$AB = 3$
Все соседние стороны образуют прямые углы. Ось вращения — прямая AB.

Найти:

$S_{пов}$ — площадь поверхности полученной фигуры.

Решение:

Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей поверхностей, образованных вращением каждого из отрезков, составляющих контур многоугольника (за исключением отрезка AB, который лежит на оси вращения).

1. Вращение отрезка $AH$ образует левое основание фигуры — круг радиусом $r = AH = 1$.
$S_1 = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

2. Вращение отрезка $BC$ образует правое основание фигуры — круг радиусом $r = BC = 1$.
$S_2 = \pi r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi$.

3. Вращение отрезка $HG$ (длиной 1) образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = AH = 1$ и высотой $h = HG = 1$.
$S_3 = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

4. Вращение отрезка $DC$ (длиной 1) образует боковую поверхность цилиндра с радиусом $r = BC = 1$ и высотой $h = DC = 1$.
$S_4 = 2\pi r h = 2\pi \cdot 1 \cdot 1 = 2\pi$.

5. Вращение отрезка $GF$ образует кольцо. Внешний радиус этого кольца равен расстоянию от точки F до оси AB, $R = AH + GF = 1 + 1 = 2$. Внутренний радиус равен расстоянию от точки G до оси AB, $r = AH = 1$.
$S_5 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$.

6. Вращение отрезка $ED$ образует аналогичное кольцо. Внешний радиус $R = BC + ED = 1 + 1 = 2$. Внутренний радиус $r = BC = 1$.
$S_6 = \pi (R^2 - r^2) = \pi (2^2 - 1^2) = 3\pi$.

7. Вращение отрезка $FE$ (длиной 1) образует внешнюю боковую поверхность "надетой" трубы. Радиус этой поверхности равен расстоянию от FE до оси AB, $R = AH + GF = 2$, а высота $h = FE = 1$.
$S_7 = 2\pi R h = 2\pi \cdot 2 \cdot 1 = 4\pi$.

8. Отрезок $AB$ лежит на оси вращения и не образует поверхности ($S_8 = 0$).

Суммарная площадь поверхности фигуры:
$S_{пов} = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 + S_5 + S_6 + S_7$
$S_{пов} = \pi + \pi + 2\pi + 2\pi + 3\pi + 3\pi + 4\pi = 16\pi$.

Ответ: $16\pi$.

12.22. Какая фигура получается вращением прямоугольника ABCD, изображенного на рисунке 12.18, вокруг прямой a, параллельной стороне этого прямоугольника? Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Рис. 12.18

Какая фигура получается вращением прямоугольника ABCD, изображенного на рисунке 12.18, вокруг прямой a, параллельной стороне этого прямоугольника?

При вращении прямоугольника ABCD вокруг прямой a, которая параллельна его стороне AD, образуется тело вращения. Это тело представляет собой полый цилиндр (также известный как цилиндрическая оболочка или труба).

Внешняя цилиндрическая поверхность образуется вращением стороны BC, а внутренняя — вращением стороны AD. Верхнее и нижнее основания представляют собой кольца, образованные вращением сторон CD и AB соответственно.

Ответ: Полый цилиндр.

Найдите площадь поверхности этой фигуры.

Дано:
Прямоугольник ABCD
Высота прямоугольника $h = AD = BC = 2$
Ширина прямоугольника $w = AB = CD = 1$
Расстояние от оси вращения a до ближайшей стороны AD равно 1.

Найти:
Площадь полной поверхности фигуры вращения $S$.

Решение:

Площадь полной поверхности полого цилиндра складывается из площади боковой поверхности внешнего цилиндра, площади боковой поверхности внутреннего цилиндра и площади двух кольцевых оснований.

1. Определим радиусы внешнего и внутреннего цилиндров. Высота обоих цилиндров равна высоте прямоугольника $h=2$.

Радиус внутреннего цилиндра, $r_1$, равен расстоянию от оси вращения a до стороны AD:

$r_1 = 1$

Радиус внешнего цилиндра, $r_2$, равен расстоянию от оси вращения a до стороны BC. Оно равно сумме расстояния до AD и ширины прямоугольника AB:

$r_2 = 1 + AB = 1 + 1 = 2$

2. Вычислим площадь боковой поверхности внешнего цилиндра ($S_{бок.внешн}$).

$S_{бок.внешн} = 2 \pi r_2 h = 2 \pi \cdot 2 \cdot 2 = 8\pi$

3. Вычислим площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра ($S_{бок.внутр}$).

$S_{бок.внутр} = 2 \pi r_1 h = 2 \pi \cdot 1 \cdot 2 = 4\pi$

4. Вычислим площадь двух кольцевых оснований ($S_{осн}$). Площадь одного кольца — это разность площадей внешнего и внутреннего кругов.

$S_{кольца} = \pi r_2^2 - \pi r_1^2 = \pi (2^2 - 1^2) = \pi (4 - 1) = 3\pi$

Так как оснований два (верхнее и нижнее), их общая площадь:

$S_{осн} = 2 \cdot S_{кольца} = 2 \cdot 3\pi = 6\pi$

5. Сложим все площади, чтобы найти полную площадь поверхности фигуры.

$S = S_{бок.внешн} + S_{бок.внутр} + S_{осн} = 8\pi + 4\pi + 6\pi = 18\pi$

Ответ: $18\pi$.