Страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

12. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$:

A) $\frac{\sqrt{5}}{15}$;

B) $\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

C) $\frac{3\sqrt{5}}{15}$;

D) $\frac{4\sqrt{5}}{15}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Найдем координаты вершин, необходимых для решения:

• $A(0, 0, 0)$
• $B(2, 0, 0)$
• $D(0, 2, 0)$
• $B_1(2, 0, 1)$
• $C_1(2, 2, 1)$

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью можно найти по формуле:

$\sin\alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n}|}$

где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{n}$ — вектор нормали к плоскости.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $DB_1$.

$\vec{s} = \vec{DB_1} = (x_{B_1} - x_D; y_{B_1} - y_D; z_{B_1} - z_D) = (2 - 0; 0 - 2; 1 - 0) = (2, -2, 1)$

Длина вектора $\vec{s}$:

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABC_1$.

Плоскость проходит через точки $A(0, 0, 0)$, $B(2, 0, 0)$ и $C_1(2, 2, 1)$. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$.

$\vec{AB} = (2 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (2, 0, 0)$

$\vec{AC_1} = (2 - 0; 2 - 0; 1 - 0) = (2, 2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 0 \cdot 2) = 0\vec{i} - 2\vec{j} + 4\vec{k} = (0, -2, 4)$

Длина вектора $\vec{n}$:

$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{0 + 4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

3. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$.

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 0 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 0 + 4 + 4 = 8$

4. Вычислим синус угла.

$\sin\alpha = \frac{|8|}{3 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{8}{6\sqrt{5}} = \frac{4}{3\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\sin\alpha = \frac{4\sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{4\sqrt{5}}{15}$

Ответ: $\frac{4\sqrt{5}}{15}$.

13. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ACD_1$:

A) $\frac{\sqrt{6}}{6}$;

B) $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

C) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$;

D) $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Дано:
Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$
Длина ребра $AB = 2$
Длина ребра $AD = 2$
Длина ребра $AA_1 = 1$

Найти:
Синус угла между прямой $DB_1$ и плоскостью $ACD_1$.

Решение:
Для решения задачи применим координатный метод. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Направим ось абсцисс ($Ox$) вдоль ребра $DA$, ось ординат ($Oy$) вдоль ребра $DC$ и ось аппликат ($Oz$) вдоль ребра $DD_1$.
В данной системе координат определим координаты вершин, необходимых для решения.
Так как $AD=2$, то точка $A$ имеет координаты $(2, 0, 0)$.
В прямоугольном параллелепипеде $DC = AB = 2$, поэтому точка $C$ имеет координаты $(0, 2, 0)$.
Высота $DD_1 = AA_1 = 1$, значит, точка $D_1$ имеет координаты $(0, 0, 1)$.
Точка $D$ — начало координат, $D(0, 0, 0)$.
Координаты точки $B_1$ найдем как сумму векторов, составляющих ломаную линию от начала координат до этой точки: $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{AB} + \vec{BB_1}$. Учитывая, что $\vec{AB} = \vec{DC}$ и $\vec{BB_1} = \vec{DD_1}$, получаем $\vec{DB_1} = \vec{DA} + \vec{DC} + \vec{DD_1}$.
Таким образом, координаты точки $B_1$ равны $(2, 2, 1)$.

1. Направляющий вектор $\vec{v}$ прямой $DB_1$ находится как разность координат ее конца и начала:
$\vec{v} = \vec{DB_1} = (2-0, 2-0, 1-0) = (2, 2, 1)$.

2. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACD_1$ можно найти, составив уравнение этой плоскости. Плоскость проходит через точки $A(2, 0, 0)$, $C(0, 2, 0)$ и $D_1(0, 0, 1)$, которые являются точками пересечения плоскости с осями координат. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид:
$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1$
Приведем уравнение к общему виду $Ax+By+Cz+D=0$, умножив его на 2:
$x + y + 2z - 2 = 0$
Коэффициенты при $x, y, z$ в общем уравнении плоскости являются координатами вектора нормали $\vec{n}$. Таким образом, $\vec{n} = (1, 1, 2)$.

3. Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью вычисляется по формуле:
$\sin(\alpha) = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| \cdot |\vec{n}|}$
Найдем скалярное произведение векторов $\vec{v}$ и $\vec{n}$:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (2)(1) + (1)(2) = 2 + 2 + 2 = 6$.
Найдем модули (длины) векторов:
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
Подставим полученные значения в формулу:
$\sin(\alpha) = \frac{|6|}{3 \cdot \sqrt{6}} = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:
$\sin(\alpha) = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.
Этот результат соответствует варианту B).

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

14. Для правильной четырехугольной пирамиды SABCD, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите синус угла между прямой SA и плоскостью ABC:

A) $\frac{\sqrt{2}}{6}$; B) $\frac{\sqrt{2}}{3}$; C) $\frac{\sqrt{3}}{6}$; D) $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида
Сторона основания $AB = 1$ см
Высота $SO = 2$ см

В системе СИ:

$AB = 0.01$ м
$SO = 0.02$ м

Найти:

$\sin(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между прямой $SA$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Поскольку пирамида SABCD является правильной, ее основание ABCD — это квадрат, а высота SO проецируется в центр основания O (точку пересечения диагоналей квадрата).

Угол между прямой $SA$ и плоскостью основания $ABC$ — это угол между самой прямой $SA$ и ее проекцией на эту плоскость. Проекцией наклонной $SA$ на плоскость $ABC$ является отрезок $AO$. Следовательно, искомый угол — это $\angle SAO$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SAO$ (угол $\angle SOA = 90^\circ$, так как $SO$ — высота и перпендикулярна плоскости основания). В этом треугольнике:

- Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 2$ см.

- Катет $AO$ — это половина диагонали квадрата $ABCD$. Найдем длину диагонали $AC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle ABC$:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, поэтому:

$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Синус угла $\angle SAO$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SAO$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к гипотенузе $SA$. Найдем длину гипотенузы $SA$ по теореме Пифагора:

$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{2^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{2}{4}} = \sqrt{4 + \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь можем найти синус искомого угла:

$\sin(\angle SAO) = \frac{SO}{SA} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 \cdot 2}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4 \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: $\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

15. Для правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите синус угла между прямой $SC$ и плоскостью $ABC$:

A) $\frac{\sqrt{5}}{5}$;

B) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$;

C) $\frac{\sqrt{3}}{5}$;

D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$
Сторона основания $a = 1$ см
Высота $h = 2$ см

$a = 0.01$ м
$h = 0.02$ м

Найти:

$\sin(\alpha)$ — синус угла между прямой $SC$ и плоскостью $ABC$.

Решение:

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ вершина $S$ проецируется в центр основания — точку $O$. Таким образом, перпендикуляр, опущенный из точки $S$ на плоскость основания $ABC$, является отрезком $SO$, который равен высоте пирамиды, $SO = h = 2$ см.

Прямая $SC$ является наклонной к плоскости основания. Её проекцией на плоскость $ABC$ будет отрезок $OC$. Следовательно, искомый угол — это угол между наклонной $SC$ и её проекцией $OC$, то есть угол $\angle SCO$. Обозначим его $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle SOC$. Так как $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания, то он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $OC$. Значит, треугольник $\triangle SOC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle SOC$.

Синус угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SOC$ равен отношению противолежащего катета $SO$ к гипотенузе $SC$: $$ \sin(\alpha) = \frac{SO}{SC} $$

Нам известна длина катета $SO = 2$ см. Найдем длины отрезков $OC$ и $SC$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне. Отрезок $OC$ является радиусом описанной окружности. Следовательно, его длина равна стороне основания: $$ OC = a = 1 \text{ см} $$

Теперь найдем длину гипотенузы $SC$ по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $\triangle SOC$: $$ SC^2 = SO^2 + OC^2 $$ $$ SC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 $$ $$ SC = \sqrt{5} \text{ см} $$

Подставим найденные значения $SO$ и $SC$ в формулу для синуса угла $\alpha$: $$ \sin(\alpha) = \frac{2}{\sqrt{5}} $$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$: $$ \sin(\alpha) = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} $$

Данное значение соответствует варианту B).

Ответ: $B) \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

16. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, у которого $AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $ABC_1$;

A) $\frac{\sqrt{5}}{5}$; B) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$; C) $\frac{\sqrt{3}}{5}$; D) $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $ABC_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи наиболее удобен метод координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $A$.

Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

$A(0,0,0)$ – так как это начало координат.

$B(2,0,0)$ – так как $AB=2$ и вершина $B$ лежит на оси $Ox$.

$C_1(2,2,1)$ – так как для попадания в эту точку из начала координат нужно сместиться на 2 единицы по оси $Ox$ ($AB$), на 2 единицы по оси $Oy$ ($BC=AD$) и на 1 единицу по оси $Oz$ ($CC_1=AA_1$).

$A_1(0,0,1)$ – так как $AA_1=1$ и вершина $A_1$ лежит на оси $Oz$.

Плоскость $ABC_1$ задается тремя точками: $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$ и $C_1(2,2,1)$. Составим уравнение этой плоскости в общем виде $ax + by + cz + d = 0$.

1. Так как плоскость проходит через начало координат $A(0,0,0)$, подстановка этих координат в уравнение дает $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0$, откуда следует, что $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

2. Подставим в уравнение координаты точки $B(2,0,0)$: $a \cdot 2 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0$, что дает $2a = 0$, следовательно, $a = 0$.

3. Теперь уравнение плоскости имеет вид $by + cz = 0$. Подставим в него координаты точки $C_1(2,2,1)$: $b \cdot 2 + c \cdot 1 = 0$, или $2b + c = 0$.

4. Мы можем выбрать любое ненулевое частное решение для коэффициентов $b$ и $c$. Например, пусть $b=1$, тогда $c=-2b=-2$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC_1$ имеет вид $y - 2z = 0$.

Далее найдем искомое расстояние от точки $A_1(0,0,1)$ до плоскости $y - 2z = 0$.

Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

В нашем случае точка – это $A_1(0,0,1)$, а уравнение плоскости – $0x + 1y - 2z + 0 = 0$. Коэффициенты уравнения: $a=0, b=1, c=-2, d=0$. Координаты точки: $x_0=0, y_0=0, z_0=1$.

Подставляем эти значения в формулу:

$h = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1+4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Полученное значение соответствует варианту ответа B).

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

17. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого

$AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от вершины $A_1$ до

плоскости $ACD_1$:

A) $\frac{\sqrt{6}}{2}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

D) $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого длины ребер равны $AB = 2$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи наиболее удобен координатный метод. Введем прямоугольную систему координат, поместив ее начало в вершину $A(0, 0, 0)$. Направим оси координат вдоль ребер параллелепипеда: ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

Определим координаты вершин, необходимых для решения задачи:

Координаты точек, задающих плоскость $ACD_1$:

• $A(0, 0, 0)$ – начало координат.

• $C(2, 2, 0)$ – так как для достижения этой точки из $A$ нужно пройти по $AB$ (ось $x$) на 2 единицы и по $BC$ (параллельно оси $y$) на 2 единицы.

• $D_1(0, 2, 1)$ – так как для достижения этой точки из $A$ нужно пройти по $AD$ (ось $y$) на 2 единицы и по $DD_1$ (параллельно оси $z$) на 1 единицу.

Координаты точки, от которой ищем расстояние:

• $A_1(0, 0, 1)$

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A$, $C$ и $D_1$. Общий вид уравнения плоскости: $ax + by + cz + d = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат $A(0, 0, 0)$, подстановка этих координат в уравнение дает $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Теперь подставим координаты точек $C$ и $D_1$ в это уравнение:

Для точки $C(2, 2, 0)$: $a \cdot 2 + b \cdot 2 + c \cdot 0 = 0 \implies 2a + 2b = 0 \implies a = -b$.

Для точки $D_1(0, 2, 1)$: $a \cdot 0 + b \cdot 2 + c \cdot 1 = 0 \implies 2b + c = 0 \implies c = -2b$.

Мы можем выбрать любое ненулевое значение для $b$, чтобы найти коэффициенты $a$ и $c$. Пусть $b = -1$, тогда $a = 1$ и $c = 2$.

Таким образом, уравнение плоскости $ACD_1$ имеет вид: $1 \cdot x - 1 \cdot y + 2 \cdot z = 0$ или $x - y + 2z = 0$.

Расстояние $h$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Найдем расстояние от точки $A_1(0, 0, 1)$ до плоскости $x - y + 2z = 0$. Здесь $x_0=0, y_0=0, z_0=1$ и $a=1, b=-1, c=2, d=0$.

$h = \frac{|1 \cdot 0 - 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2}} = \frac{|2|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$

Чтобы упростить выражение, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$h = \frac{2 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

18. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, у которого

$AB = 2, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от вершины $B_1$ до

плоскости $ACD_1$:

A) $\frac{\sqrt{6}}{2}$;

B) $\frac{\sqrt{3}}{2}$;

C) $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

D) $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 2$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Все данные представлены в одних и тех же единицах измерения, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем трехмерную декартову систему координат с началом в вершине $A$.

1. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AD$, ось $Oy$ вдоль ребра $AB$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

2. Определим координаты необходимых вершин в этой системе:

• $A$ - начало координат, поэтому $A(0, 0, 0)$.
• $D$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $AD=2$ от начала координат, поэтому $D(2, 0, 0)$.
• $B$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии $AB=2$ от начала координат, поэтому $B(0, 2, 0)$.
• $C$ имеет координаты, соответствующие смещению на $AD$ по $x$ и на $AB$ по $y$, поэтому $C(2, 2, 0)$.
• $A_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии $AA_1=1$ от начала координат, поэтому $A_1(0, 0, 1)$.
• $D_1$ получается смещением точки $D$ на вектор $\vec{AA_1}$, поэтому $D_1(2, 0, 1)$.
• $B_1$ получается смещением точки $B$ на вектор $\vec{AA_1}$, поэтому $B_1(0, 2, 1)$.

3. Составим уравнение плоскости $ACD_1$. Общее уравнение плоскости имеет вид $ax + by + cz + d = 0$.

Так как плоскость проходит через начало координат $A(0, 0, 0)$, подстановка этих координат в уравнение дает $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Подставим координаты точек $C(2, 2, 0)$ и $D_1(2, 0, 1)$ в уравнение плоскости:

Для точки $C(2, 2, 0): a(2) + b(2) + c(0) = 0 \implies 2a + 2b = 0 \implies a = -b$.

Для точки $D_1(2, 0, 1): a(2) + b(0) + c(1) = 0 \implies 2a + c = 0 \implies c = -2a$.

Выразим коэффициенты $b$ и $c$ через $a$: $b = -a$, $c = -2a$. Подставим их в уравнение плоскости:

$ax - ay - 2az = 0$

Разделив на $a$ (при условии $a \neq 0$), получаем уравнение плоскости $ACD_1$:

$x - y - 2z = 0$

4. Найдем расстояние от точки $B_1(x_0, y_0, z_0) = B_1(0, 2, 1)$ до плоскости $x - y - 2z = 0$ по формуле:

$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Здесь $a=1, b=-1, c=-2, d=0$ и $x_0=0, y_0=2, z_0=1$.

$\rho = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 2 + (-2) \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-2)^2}} = \frac{|0 - 2 - 2|}{\sqrt{1 + 1 + 4}} = \frac{|-4|}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\rho = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$

Данный результат соответствует варианту D).

Ответ: $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

19. Для правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, стороны основания которой равны 1 см, а высота равна 2 см, найдите расстояние от центра $O$ ее основания до плоскости $SBC$:

A) $\frac{2\sqrt{17}}{17}$ см;

B) $\frac{\sqrt{17}}{17}$ см;

C) $\frac{2\sqrt{15}}{15}$ см;

D) $\frac{\sqrt{15}}{15}$ см.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 1$ см

Высота пирамиды $H = SO = 2$ см

$a = 0.01$ м
$H = 0.02$ м

Найти:

Расстояние от центра основания O до плоскости SBC.

Решение:

Поскольку пирамида SABCD правильная, в ее основании лежит квадрат ABCD, а высота SO проецируется в центр этого квадрата — точку O, которая является точкой пересечения диагоналей.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Нам нужно найти длину перпендикуляра OH, опущенного из точки O на плоскость боковой грани SBC.

Чтобы найти этот перпендикуляр, построим вспомогательное сечение. Проведем в плоскости основания отрезок OM, где M — середина стороны BC. Так как ABCD — квадрат, а O — его центр, то $OM \perp BC$. Длина OM равна половине стороны квадрата: $OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$ см.

Рассмотрим плоскость, проходящую через высоту пирамиды SO и отрезок OM. Это плоскость треугольника SOM. Так как высота пирамиды $SO \perp (ABC)$, то $SO \perp BC$. Поскольку $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($OM$ и $SO$) в плоскости SOM, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости SOM.

Так как прямая BC лежит в плоскости SBC и $BC \perp (SOM)$, то плоскость SBC перпендикулярна плоскости SOM. Искомый перпендикуляр OH из точки O на плоскость SBC будет лежать в плоскости SOM и являться высотой прямоугольного треугольника SOM, проведенной к гипотенузе SM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOM (угол $\angle SOM = 90^{\circ}$):

• Катет $SO$ — это высота пирамиды, $SO = 2$ см.
• Катет $OM$ — это половина стороны основания, $OM = 0.5$ см.

Найдем гипотенузу SM (апофему пирамиды) по теореме Пифагора:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{2^2 + (0.5)^2} = \sqrt{4 + 0.25} = \sqrt{4.25} = \sqrt{\frac{17}{4}} = \frac{\sqrt{17}}{2}$ см.

Теперь найдем высоту OH треугольника SOM, проведенную к гипотенузе SM. Площадь треугольника SOM можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot OM \cdot SO$

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot OH$

Приравнивая правые части, получаем:

$OM \cdot SO = SM \cdot OH$

Отсюда выражаем искомую длину OH:

$OH = \frac{OM \cdot SO}{SM}$

Подставляем известные значения:

$OH = \frac{0.5 \cdot 2}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{17}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{17}}$ см.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{17}$:

$OH = \frac{2 \cdot \sqrt{17}}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{17}} = \frac{2\sqrt{17}}{17}$ см.

Это значение соответствует варианту ответа A).

Ответ: $ \frac{2\sqrt{17}}{17} $ см.