Страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Смирнов, Туяков

11.4. B

В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания равны 2 см, высота равна 1 см. Найдите расстояние от центра $O$ основания этой пирамиды до плоскости $SBC$.

Дано:

SABCD - правильная четырехугольная пирамида

Сторона основания $a = 2$ см

Высота пирамиды $H = SO = 1$ см

O - центр основания ABCD

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки O до плоскости SBC, обозначаемое $d(O, (SBC))$

Решение:

Расстояние от точки до плоскости определяется как длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. В нашем случае требуется найти длину перпендикуляра из центра основания O на плоскость боковой грани SBC.

1. Проведем в плоскости боковой грани SBC апофему $SM$, где M - середина ребра BC. В правильной пирамиде апофема является высотой боковой грани, следовательно, $SM \perp BC$.

2. В основании пирамиды, которое является квадратом ABCD, точка O - центр квадрата. Проведем отрезок OM. Так как M - середина BC, то OM - это перпендикуляр от центра квадрата к его стороне. Длина OM равна половине стороны квадрата:

$OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 2 \text{ см} = 1 \text{ см}$.

3. Рассмотрим треугольник SOM. SO - высота пирамиды, поэтому она перпендикулярна всей плоскости основания ABC, а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая OM. Таким образом, $SO \perp OM$, и треугольник SOM является прямоугольным с прямым углом $\angle SOM$.

4. Нам известны длины катетов этого треугольника: высота $SO = H = 1$ см (по условию) и $OM = 1$ см (как было вычислено). Мы можем найти длину гипотенузы SM (апофемы пирамиды) с помощью теоремы Пифагора:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ см.

5. Искомое расстояние от точки O до плоскости SBC — это высота прямоугольного треугольника SOM, опущенная из вершины прямого угла O на гипотенузу SM. Обозначим эту высоту как OH, где $H \in SM$. Это следует из того, что плоскость SOM перпендикулярна плоскости SBC (так как плоскость SOM проходит через прямую SO, перпендикулярную плоскости SBC). Перпендикуляр из O к плоскости SBC должен лежать в плоскости SOM и быть перпендикулярным линии их пересечения SM.

6. Для нахождения длины высоты OH в прямоугольном треугольнике SOM воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника можно выразить двумя способами:

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SO \cdot OM$

$S_{\triangle SOM} = \frac{1}{2} \cdot SM \cdot OH$

Приравняв эти два выражения, получаем:

$SO \cdot OM = SM \cdot OH$

Отсюда выражаем искомую высоту OH:

$OH = \frac{SO \cdot OM}{SM}$

7. Подставляем известные числовые значения в формулу:

$OH = \frac{1 \text{ см} \cdot 1 \text{ см}}{\sqrt{2} \text{ см}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ см.

8. Для удобства избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{2}$:

$OH = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

Ответ: расстояние от центра O основания этой пирамиды до плоскости SBC равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$ см.

11.5. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, для которого $AB = 3$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$, найдите расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$.

11.6.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 3$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Расстояние от точки $A_1$ до плоскости $ABC_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$ и ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(3, 0, 0)$ (так как $AB=3$)

$A_1(0, 0, 1)$ (так как $AA_1=1$)

Координаты точки $C_1$ определяются смещением из точки $A$ вдоль ребер $AB$, $BC$ (равного $AD$) и $CC_1$ (равного $AA_1$), поэтому $C_1(3, 2, 1)$.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0, 0, 0)$, $B(3, 0, 0)$ и $C_1(3, 2, 1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид: $ax + by + cz + d = 0$.

Поскольку плоскость проходит через начало координат, точку $A(0, 0, 0)$, подставив ее координаты в уравнение, получим $a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0$, следовательно $d=0$. Уравнение принимает вид: $ax + by + cz = 0$.

Подставим координаты точки $B(3, 0, 0)$:

$a \cdot 3 + b \cdot 0 + c \cdot 0 = 0 \implies 3a = 0 \implies a = 0$.

Уравнение плоскости теперь имеет вид: $by + cz = 0$.

Подставим координаты точки $C_1(3, 2, 1)$:

$b \cdot 2 + c \cdot 1 = 0 \implies c = -2b$.

Выберем любое ненулевое значение для $b$, например, $b=1$. Тогда $c=-2$.

Таким образом, уравнение плоскости $ABC_1$ есть $y - 2z = 0$.

Теперь найдем искомое расстояние от точки $A_1(0, 0, 1)$ до плоскости $y - 2z = 0$. Воспользуемся формулой расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax+by+cz+d=0$:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

В нашем случае точка $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 1)$, а коэффициенты уравнения плоскости $0x + 1y - 2z + 0 = 0$ равны $a=0, b=1, c=-2, d=0$.

Подставляем значения в формулу:

$h = \frac{|0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + 0|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$h = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

11.6. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, для которого $AB = 3$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$, найдите расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длины ребер: $AB = 3$, $AD = 2$, $AA_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCD_1$.

Решение:

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в точку $A(0, 0, 0)$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль ребра $AD$, а ось $Oz$ вдоль ребра $AA_1$.

В этой системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

$A(0, 0, 0)$

$B(3, 0, 0)$

$D(0, 2, 0)$

$A_1(0, 0, 1)$

Исходя из этого, найдем координаты нужных нам точек:

$C(3, 2, 0)$ (так как $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$)

$C_1(3, 2, 1)$ (так как $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}$)

$D_1(0, 2, 1)$ (так как $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{AA_1}$)

Плоскость $BCD_1$ проходит через точки $B(3, 0, 0)$, $C(3, 2, 0)$ и $D_1(0, 2, 1)$.

Чтобы составить уравнение плоскости вида $Ax + By + Cz + D = 0$, найдем вектор нормали $\vec{n}$ к этой плоскости. Для этого вычислим векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости, например, $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$.

Найдем координаты векторов:

$\vec{BC} = C - B = (3-3, 2-0, 0-0) = (0, 2, 0)$

$\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-3, 2-0, 1-0) = (-3, 2, 1)$

Теперь найдем их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 & 0 \\ -3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 1 - 0 \cdot 2) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-3)) = 2\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 6\mathbf{k} = (2, 0, 6)$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор, например, разделив полученный на 2: $\vec{n'} = (1, 0, 3)$.

Таким образом, уравнение плоскости $BCD_1$ имеет вид $1 \cdot x + 0 \cdot y + 3 \cdot z + D = 0$, то есть $x + 3z + D = 0$.

Чтобы найти коэффициент $D$, подставим в уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, точки $B(3, 0, 0)$:

$3 + 3 \cdot 0 + D = 0 \Rightarrow D = -3$.

Итак, уравнение плоскости $BCD_1$: $x + 3z - 3 = 0$.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $C_1(3, 2, 1)$ до плоскости $x + 3z - 3 = 0$ по формуле расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем наши значения: $A=1, B=0, C=3, D=-3$ и $(x_0, y_0, z_0) = (3, 2, 1)$.

$d = \frac{|1 \cdot 3 + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 1 - 3|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 3^2}} = \frac{|3 + 0 + 3 - 3|}{\sqrt{1 + 0 + 9}} = \frac{|3|}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Избавляясь от иррациональности в знаменателе, получаем:

$d = \frac{3\sqrt{10}}{10}$.

Ответ: Расстояние от точки $C_1$ до плоскости $BCD_1$ равно $\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

11.7. Для прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$, для которого $AB = 3, AD = 2, AA_1 = 1$, найдите расстояние от точки:
а) B; б) $A_1$; в) $C_1$ до плоскости $ACD_1$.

Дано:

Прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$

$AB = 3$

$AD = 2$

$AA_1 = 1$

Найти:

Расстояние от точек B, A₁, C₁ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A(0, 0, 0). Направим ось Ox вдоль ребра AB, ось Oy вдоль ребра AD и ось Oz вдоль ребра AA₁.

В этой системе координат вершины параллелепипеда будут иметь следующие координаты:

A(0, 0, 0)

B(3, 0, 0)

C(3, 2, 0)

D(0, 2, 0)

A₁(0, 0, 1)

D₁(0, 2, 1)

C₁(3, 2, 1)

Найдем уравнение плоскости $ACD_1$, проходящей через три точки: A(0, 0, 0), C(3, 2, 0) и D₁(0, 2, 1).

Общее уравнение плоскости имеет вид $ax + by + cz + d = 0$.

Так как плоскость проходит через начало координат A(0, 0, 0), то $d=0$. Уравнение принимает вид $ax + by + cz = 0$.

Подставим координаты точек C и D₁ в уравнение плоскости:

Для точки C(3, 2, 0): $a(3) + b(2) + c(0) = 0 \Rightarrow 3a + 2b = 0$.

Для точки D₁(0, 2, 1): $a(0) + b(2) + c(1) = 0 \Rightarrow 2b + c = 0$.

Из первого уравнения выразим $b$: $b = -\frac{3}{2}a$.

Из второго уравнения выразим $c$: $c = -2b$. Подставим выражение для $b$: $c = -2(-\frac{3}{2}a) = 3a$.

Для упрощения коэффициентов выберем $a=2$, тогда $b=-3$ и $c=6$.

Таким образом, уравнение плоскости $ACD_1$ имеет вид: $2x - 3y + 6z = 0$.

Расстояние $h$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле:

$h = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Для нашей плоскости знаменатель будет равен: $\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$.

а) B

Найдем расстояние от точки B(3, 0, 0) до плоскости $2x - 3y + 6z = 0$.

$h_B = \frac{|2 \cdot 3 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 0|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|6 - 0 + 0|}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$

б) A₁

Найдем расстояние от точки A₁(0, 0, 1) до плоскости $2x - 3y + 6z = 0$.

$h_{A_1} = \frac{|2 \cdot 0 - 3 \cdot 0 + 6 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|0 - 0 + 6|}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$

в) C₁

Найдем расстояние от точки C₁(3, 2, 1) до плоскости $2x - 3y + 6z = 0$.

$h_{C_1} = \frac{|2 \cdot 3 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 6^2}} = \frac{|6 - 6 + 6|}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$

11.8. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$ стороны основания и высота равны 4 см. Точка $E$ — середина ребра $SA$ (рис. 11.4). Найдите расстояние от точки $E$ до плоскости $SBC$.

Рис. 11.4

Дано:

$SABCD$ - правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $a = 4$ см.
Высота пирамиды $h = SO = 4$ см.
Точка $E$ - середина ребра $SA$.

Найти:

Расстояние от точки $E$ до плоскости $SBC$, обозначаемое как $\rho(E, (SBC))$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $O$ - центре основания пирамиды. Ось $Ox$ направим параллельно ребру $AB$, ось $Oy$ - параллельно ребру $BC$, а ось $Oz$ - вдоль высоты $SO$.

В этой системе координат вершины пирамиды будут иметь следующие координаты:

Поскольку сторона основания равна 4, то половина стороны равна 2. Координаты вершин основания:$A(-2, -2, 0)$
$B(2, -2, 0)$
$C(2, 2, 0)$
$D(-2, 2, 0)$

Высота пирамиды равна 4, поэтому вершина $S$ имеет координаты:$S(0, 0, 4)$

Точка $E$ является серединой ребра $SA$. Найдем ее координаты как среднее арифметическое координат точек $S$ и $A$:$x_E = \frac{x_S + x_A}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$
$y_E = \frac{y_S + y_A}{2} = \frac{0 + (-2)}{2} = -1$
$z_E = \frac{z_S + z_A}{2} = \frac{4 + 0}{2} = 2$
Таким образом, точка $E$ имеет координаты $(-1, -1, 2)$.

Теперь найдем уравнение плоскости $SBC$. Уравнение плоскости в общем виде: $ax + by + cz + d = 0$. Для его нахождения используем координаты трех точек, лежащих в этой плоскости: $S(0, 0, 4)$, $B(2, -2, 0)$ и $C(2, 2, 0)$.

Сначала найдем два вектора, лежащих в плоскости $SBC$, например, $\vec{SB}$ и $\vec{BC}$:$\vec{SB} = (2-0, -2-0, 0-4) = (2, -2, -4)$
$\vec{BC} = (2-2, 2-(-2), 0-0) = (0, 4, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SBC$ перпендикулярен обоим этим векторам, и его можно найти как их векторное произведение:$\vec{n} = \vec{SB} \times \vec{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -2 & -4 \\ 0 & 4 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(0) - (-4)(4)) - \vec{j}((2)(0) - (-4)(0)) + \vec{k}((2)(4) - (-2)(0))$$\vec{n} = \vec{i}(0 + 16) - \vec{j}(0 - 0) + \vec{k}(8 - 0) = 16\vec{i} + 0\vec{j} + 8\vec{k} = (16, 0, 8)$

Для удобства можно использовать коллинеарный вектор, разделив координаты $\vec{n}$ на 8. Получим вектор нормали $\vec{n'} = (2, 0, 1)$.Следовательно, уравнение плоскости $SBC$ имеет вид: $2x + 0y + 1z + d = 0$, или $2x + z + d = 0$.

Чтобы найти коэффициент $d$, подставим в это уравнение координаты любой точки, принадлежащей плоскости, например, $S(0, 0, 4)$:$2(0) + 4 + d = 0 \implies 4 + d = 0 \implies d = -4$.

Таким образом, уравнение плоскости $SBC$ имеет вид: $2x + z - 4 = 0$.

Расстояние $\rho$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $ax + by + cz + d = 0$ вычисляется по формуле:$\rho = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$

Найдем расстояние от точки $E(-1, -1, 2)$ до плоскости $2x + 0y + 1z - 4 = 0$:$\rho(E, (SBC)) = \frac{|2(-1) + 0(-1) + 1(2) - 4|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{|-2 + 0 + 2 - 4|}{\sqrt{4 + 0 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:$\frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

Ответ: расстояние от точки $E$ до плоскости $SBC$ равно $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ см.

11.9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ все ребра равны 1 см (рис. 11.5). Найдите расстояние от точки $B_1$ до плоскости $ACD_1$.

Рис. 11.5

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$

Ребро куба $a = 1 \text{ см}$

$a = 0.01 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $B_1$ до плоскости $ACD_1$, обозначим его $h$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом объемов. Искомое расстояние $h$ является высотой тетраэдра $ACD_1B_1$, опущенной из вершины $B_1$ на основание $ACD_1$.

Объем тетраэдра вычисляется по формуле:

$V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$

Отсюда можно выразить высоту:

$h = \frac{3V}{S_{осн}}$

Решение разобьем на два этапа: найдем площадь основания $S_{ACD_1}$ и объем тетраэдра $V_{ACD_1B_1}$.

1. Нахождение площади основания $S_{ACD_1}$

Основанием является треугольник $ACD_1$. Его стороны $AC$, $AD_1$ и $CD_1$ являются диагоналями граней куба.

Длина диагонали грани куба с ребром $a=1$ находится по теореме Пифагора:

$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ см}$

Следовательно, все стороны треугольника $ACD_1$ равны:

$AC = AD_1 = CD_1 = \sqrt{2} \text{ см}$

Таким образом, треугольник $ACD_1$ является равносторонним. Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $s = \sqrt{2}$:

$S_{ACD_1} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \text{ см}^2$

2. Нахождение объема тетраэдра $V_{ACD_1B_1}$

Объем тетраэдра можно найти, вычтя из объема всего куба объемы четырех "угловых" тетраэдров: $B_1ABC$, $A_1AD_1A$, $C_1CD_1C$ и $D_1DAB$. Нет, это сложный путь. Найдем объем через координаты.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$.

Координаты вершин тетраэдра будут:

$A(1, 0, 0)$, $C(0, 1, 0)$, $D_1(0, 0, 1)$, $B_1(1, 1, 1)$.

Объем тетраэдра, заданного координатами своих вершин, можно найти с помощью смешанного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $A$:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB_1} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD_1}|$

Найдем векторы:

$\vec{AB_1} = (1-1, 1-0, 1-0) = (0, 1, 1)$

$\vec{AC} = (0-1, 1-0, 0-0) = (-1, 1, 0)$

$\vec{AD_1} = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{AB_1} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) = -1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1, -1, 1)$

Теперь вычислим скалярное произведение (результат смешанного произведения):

$(\vec{AB_1} \times \vec{AC}) \cdot \vec{AD_1} = (-1, -1, 1) \cdot (-1, 0, 1) = (-1)(-1) + (-1)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2$

Объем тетраэдра равен:

$V = \frac{1}{6} |2| = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \text{ см}^3$

3. Нахождение искомого расстояния $h$

Теперь, зная объем и площадь основания, найдем высоту:

$h = \frac{3V}{S_{ACD_1}} = \frac{3 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$h = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$

Ответ: $\frac{2\sqrt{3}}{3} \text{ см}$.

11.10. В правильной четырехугольной пи-рамиде $SABCD$ все стороны основания и высота равны 2 см (рис. 11.6). Найдите расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$.

Рис. 11.6

Дано:

$SABCD$ – правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания $AB = BC = CD = DA = a = 2$ см.
Высота пирамиды $SO = H = 2$ см.

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$
$H = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$, обозначим его как $d(A, (SBC))$.

Решение:

Расстояние от точки до плоскости можно найти, используя метод объемов. Рассмотрим пирамиду $ASBC$. Ее объем можно вычислить двумя способами.

Способ 1: Примем за основание треугольник $ABC$, тогда высотой будет высота исходной пирамиды $SO$.
В основании правильной пирамиды $SABCD$ лежит квадрат $ABCD$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным, так как угол $\angle ABC = 90^\circ$. Площадь треугольника $ABC$ равна:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot (0.02 \text{ м})^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.0004 \text{ м}^2 = 0.0002 \text{ м}^2$

Объем пирамиды $SABC$ (он же $ASBC$) равен:

$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot 0.0002 \text{ м}^2 \cdot 0.02 \text{ м} = \frac{0.000004}{3} \text{ м}^3$

Способ 2: Примем за основание грань $SBC$, тогда высотой будет искомое расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$, то есть $d(A, (SBC))$.
Объем пирамиды $ASBC$ в этом случае выражается формулой:

$V_{ASBC} = \frac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot d(A, (SBC))$

Найдем площадь грани $SBC$. Это равнобедренный треугольник с основанием $BC = a = 0.02$ м. Для нахождения площади проведем апофему $SN$ (высоту грани $SBC$), где $N$ – середина ребра $BC$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $SON$. $O$ – центр квадрата $ABCD$, $SO$ – высота пирамиды. $ON$ – отрезок, соединяющий центр квадрата с серединой стороны $BC$, поэтому $ON$ перпендикулярен $BC$ и равен половине стороны $AB$.

$ON = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2} \cdot 0.02 \text{ м} = 0.01 \text{ м}$

По теореме Пифагора для треугольника $SON$ найдем апофему $SN$:

$SN = \sqrt{SO^2 + ON^2} = \sqrt{(0.02 \text{ м})^2 + (0.01 \text{ м})^2} = \sqrt{0.0004 + 0.0001} \text{ м} = \sqrt{0.0005} \text{ м} = \sqrt{5 \cdot 10^{-4}} \text{ м} = \sqrt{5} \cdot 10^{-2} \text{ м}$

Теперь можем найти площадь треугольника $SBC$:

$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SN = \frac{1}{2} \cdot 0.02 \text{ м} \cdot (\sqrt{5} \cdot 10^{-2} \text{ м}) = 0.01 \cdot \sqrt{5} \cdot 10^{-2} \text{ м}^2 = \sqrt{5} \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

Приравняем два выражения для объема пирамиды $ASBC$:

$\frac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot d(A, (SBC)) = V_{SABC}$

$\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{5} \cdot 10^{-4}) \cdot d(A, (SBC)) = \frac{0.000004}{3}$

Умножим обе части на 3:

$(\sqrt{5} \cdot 10^{-4}) \cdot d(A, (SBC)) = 0.000004$

$d(A, (SBC)) = \frac{0.000004}{\sqrt{5} \cdot 10^{-4}} = \frac{4 \cdot 10^{-6}}{\sqrt{5} \cdot 10^{-4}} = \frac{4 \cdot 10^{-2}}{\sqrt{5}} \text{ м}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d(A, (SBC)) = \frac{4 \cdot 10^{-2} \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} \cdot 10^{-2}}{5} = \frac{4\sqrt{5}}{5} \cdot 0.01 \text{ м}$

Переведем ответ в сантиметры для удобства:

$d(A, (SBC)) = \frac{4\sqrt{5}}{5} \text{ см}$

Ответ: Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$ равно $\frac{4\sqrt{5}}{5}$ см.